本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1.设
是等差数列{an}的前n项和，
，则
的值为(　 　)

A.
B.
C.
D.

2、如果
是二次函数, 且
的图象开口向上,顶点坐标为（1,
）, 那么曲线
上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3、在
中，
，
，
是边
上的高，则
的值等于（ ）

A．0 B．
C．4 D．

4、已知数列
为等比数列，且.

,则
=（　　）

．
.

．
．

5、已知等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的前8项和为（ ） A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023

6、已知函数
（其中
）的部分图象如右图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象（ ）

A.向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平移
个长度单位

7、函数
的零点个数为（ ）

A. 1 B.2 C. 3 D.4

8、设集合
，集合
.若
中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足

，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5

10、已知函数
的图象与直线
交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为
，则
＋
＋…＋
的值为（　 ）

A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 　　D．1

11、定义域为的偶函数
满足对
，有
，且当
时，

，若函数
在
上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知定义在上的奇函数
，满足
，且在区间
上是增函数，若方程
，在区间
上有四个不同的根
，则
＝（ ）

A．－12 B．－8 C．－4 D．4

2013～2014学年度上学期二调考试

高三年级数学（理科）试卷

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13、由曲线
与直线
所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是

14、在等比数列
中，若

，则
。

15、在直角三角形
中，
，
，点是斜边
上的一个三等分点，则
．

16、设
，其中
. 若
对一切
恒成立，则 ①
； ②
； ③
既不是奇函数也不是偶函数；

④
的单调递增区间是
；

⑤ 存在经过点
的直线与函数
的图象不相交．

以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17、（本题10分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（
，1），p=（
，
）且
．求：

（1）求sin A的值； （2）求三角函数式
的取值范围．

18、（本题12分）

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；

(3)令cn＝(n∈N*)，求数列 {cn}的前n项和Tn.

19、（本题12分）

在△ABC中，
，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，
。

（1）求BC的长；

（2）求△DBC的面积。

20、（本题12分）

已知
且
，函数
，
，记

（1）求函数
的定义域及其零点；

（2）若关于的方程
在区间
内仅有一解，求实数的取值范围.

21、（本题12分）

已知函数

（1）求函数
在点
处的切线方程；

（2）求函数
单调递增区间；

（3）若存在
，使得
是自然对数的底数），求实数的取值范围.

22、（本题12分）

设函数

(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和
是函数
的两个不同零点，且
，求。

(II) 若对任意
, 都存在
(e 为自然对数的底数)，使得
成立，求实数的取值范围。

2013～2014学年度上学期二调考试

高三年级数学（理科）答案

7、

8、【答案】B

【解析】
，因为函数
的对称轴为
，
，根据对称性可知要使
中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有
且
，即
，所以
。即
，选B.

10、【解析】函数的导数为
，所以在
处的切线斜率为
，所以切线斜率为
，令
得
，所以

，所以

，

选A.

11、【解析】因为函数是偶函数，所以
，

即
，所以函数
关于直线
对称，又
，所以
，即函数的周期是4.由
得，
，令
，当
时，
，过定点
.由图象可知当
时，不成立.所以
.因为
，所以要使函数
在
上至少有三个零点，则有
，即
，所以
，即
，所以
，即的取值范围是
，选B。

12【解析】因为
是定义在R上的奇函数，满足
，所以
，由
为奇函数，所以函数图象关于直线
对称且
，由
知
，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为
在区间[0，2]上是增函数，所以
在区间[?2，0]上也是增函数. 如图2所示，那么方程
m(m>0)在区间[?8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

二、填空题

13、
14、
15、 16. ①②③

三、解答题

17、解：（I）∵
，∴
，根据正弦定理，得
，

又
，

，
，
，又

；sinA=
5分

（II）原式
，

，

∵
，∴
，∴
，

∴
，∴
的值域是
．。。。。。。10分

∴Hn＝
。

∴数列{cn}的前n项和Tn＝
＋
. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分

19、

。。。。。。。（8分）

。。。。。。（12分）

方法（二）：也可做辅助线，过点D作DE∥AB。

20、解：（1）

（
且
）

，解得
，所以函数
的定义域为

令

，则
……（*）方程变为

，
，即

解得
，
……4分

经检验
是（*）的增根，所以方程（*）的解为
，所以函数
的零点为
.。。。。。6分

（2）
（
）

，

设
，则函数
在区间
上是减函数，当
时，此时
，
，所以
。①若
，则
，方程有解；②若
，则
，方程有解。。。。。12分

21. ⑴因为函数
，

所以
，
，…………………………………………2分

又因为
，所以函数
在点
处的切线方程为
． …………4分

⑵由⑴，
．

因为当
时，总有
在上是增函数，

又
，所以不等式
的解集为
，

故函数
的单调增区间为
．………………………………………………8分

⑶因为存在
，使得
成立，

而当
时，
，

所以只要
即可．

又因为，
，
的变化情况如下表所示：





















减函数

极小值

增函数



所以
在
上是减函数，在
上是增函数，所以当
时，
的最小值

，
的最大值
为
和
中的最大值．

因为
，

令
，因为
，

所以
在
上是增函数．

而
，故当
时，
，即
；

当
时，
，即
．

所以，当
时，
，即
，函数
在
上是增函数，解得
；当
时，
，即
，函数
在
上是减函数，解得
．

综上可知，所求的取值范围为
．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22、（Ⅰ）
，∵
是函数
的极值点，∴
.∵1是函数
的零点，得
，

由
解得
. ………2分

∴
,
，

令
，
，得
； 令
得
，

所以
在
上单调递减；在
上单调递增.……4分

故函数
至多有两个零点，其中

，

因为
，

，所以
，故
．……6分

（Ⅱ）令
，
，则
为关于
的一次函数且为增函数，根据题意，对任意
，都存在
，使得
成立，则
在
有解，

令
，只需存在
使得
即可，

由于
=
，

令
，
，

∴
在(1，e)上单调递增，
，………9分

①当
，即
时，
，即
，
在(1，e)上单调递增，∴
，不符合题意.

②当
，即
时，
，

若
，则
，所以在(1，e)上
恒成立，即
恒成立，∴
在(1，e)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

若
，则
，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得
，∴在(1，m)上
恒成立，即
恒成立，
在(1，m)上单调递减,∴存在
，使得
，符合题意.

综上所述，当
时，对任意
，都存在
，使得
成立.…………12分