2014年2月20日下午3：00—5：00

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|
，x∈Z}，则M∩N=

A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．[﹣1，1） D．[﹣1，0]

3．已知
的展开式中
的系数为
,则

A．

B．
C．
D．

4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

5．设x＞0，y＞0，且
+
=4，
，则z的最小值是

A．

﹣4

B．

﹣3

C．



D．





6．若A为不等式组
表示的平面区域，则当
从﹣2连续变化到1时，动直线
扫过A中的那部分区域的面积为

A．



B．

1

C．



D．

2



7．函数
（
）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与
轴的交点，记∠APB=θ，则
的值是

A.
B.

C.
D.

8．下列命题中：

①“x＞|y|”是“x2＞y2”的充要条件；

②若“?x∈R，x2+2ax+1＜0”，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；

③已知平面α，β，γ，直线m，l，若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α；

④函数f（x）=（
）x﹣
的所有零点存在区间是（
，
）．

其中正确的个数是

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4





9．某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有

A．

474种

B．

77种

C．

462种

D．

79种



10．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为

A．

（
，+∞）

B．

（﹣∞，
）

C．

（﹣
，﹣2）

D．

（2，
）



第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于　 　．[来源:学科网]

12．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有　　个．

13．设
分别是椭圆的左、右焦点，与直线
相切的⊙
交椭圆于点E，且点E是
直线
与⊙
的切点，则椭圆的离心率为

14．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，3），O为原点，且
，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1，
0），则
的最小值是　　．

15．已知
，若
对任意实数
、
恒成立，则
的取值范围是_____ ___。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．其中，16—19题每小题满分为12分，20题为13分，21题14分；解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16.等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
；
为等比数列，
,且
，
.

（Ⅰ）求通项公式
与
； (Ⅱ)求

17.已知函数
的图像经过点A（0，1）、

。

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调增区间；

(Ⅱ)已知
，且
的最大值为
，求
的值。

18. 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用
表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求
的分布列和数学期望.

19. 如图，已知菱形
的边长为
，
,
.将菱形
沿对角线
折起，使
，得到三棱锥
.

（Ⅰ）若点
是棱
的中点，求证:
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）设点
是线段
上一个动点，试确定
点的位置，使得
，并证明你的结论.

20. 已知椭圆
：
（
）经过（1，1）与（
，
）两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点的直线
与椭圆C交于A、B两点，椭圆
上一点
满足
．求证：
为定值．

21. 设函数
（
）

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
有两个极值点
和
，记过点
，
的直线的斜率为
.问：是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

绵阳南山中学2014年春季高2011级二月月考

理科数学试题参考答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

D

D

B

C

A

C

A

B



10.

解：f（x）=|xex|=
，

当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；

当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），

由f′（x）=0，得
x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，

所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=
，

要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，

令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，
）内，一个根在（
，+∞）内，

再令g（m）=m2+t
m+1，因为g（0）=1＞0，

则只需g（
）＜0，即（
）2+
t+1＜0，

解得：t＜﹣
．

所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（﹣∞，﹣
）． 故选B．



二．填空题

11.
12. 3 13.
14.
15.

三．解答题

16. 解：　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意有解得或(舍去) ……4分

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. ………………………6分

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， …………8分

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…10分

＝ ＝－
………………………12分[来源:Zxxk.Com]

17. 解：（1）由
得：
即

。

当
，即

）时，
为增函数。

∴函数
的单调增区间为
。 ………6分

（2）
，即有
。

当
，即
时，
，得
；

当
，即
时，
，无解；

当
，即
时，
，矛盾。

故
。 ………12分

18. 解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为
,……………1分

由题
意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是
， ……………………3分

则
.
………………………6分

(Ⅱ)
的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分

由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为
，且每个人下电梯互不影响，

∴
～
……………………………9分

∴X的分布列为

0

1

2

3

4

















 ………………………………11分

∴X的数学期望
……………………………12分

19. （Ⅰ）证明：因为点
是菱形
的对角线的交点，[来源:学科网ZXXK]

所以
是
的中点.又点
是棱
的中点，

所以
是
的中位线，
.………………1分

因为
平面
,
平面
,

所以
平面
. ………………3分

（Ⅱ）解：由题意，
，

因为
，

所以
，
. …………4分

又因为菱形
，所以
，
.

建立空间直角坐标系
，如图所示.

.

所以

…6分

设平面
的法向量为

，

则有
即：

令
，则
，所以

. ………7分

因为
,所以
平面
.

平面
的法向量与
平行，

所以平面
的法向量为
. …………8分

，

因为二面角
是锐角，

所以二面角
的余弦值为
. ……………9分

（Ⅲ）解：因为
是线段
上一个动点，设
，
，

则
，

所以
，
……………10分

则
，
，

由
得
，即
，……11分

解得
或
，

所以
点的坐标为

或
. ………12分

（也可以答是线段
的三等分点，
或
）

20. 解：（Ⅰ）将（1，1）与（
，
）两点代入椭圆C的方程，

得
解得
．

∴椭圆PM2的方程为
． ………
4分

（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

=
．………6分

同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时

=
．………8分

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），[来源:Zxxk.Com]

则直线OM的方程为
，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由
解得
，
，

∴
=
， ………10分

同理
， ………11分

所以
=2×
+
=2，

故
=2为定值． ………13分

(2)由(1)知，a＞2.

因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，

所以，k＝＝1＋－a·. ……8分

又由(1
)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·. ……9分

若存在a，使得k＝2－a，则＝1.
……10分[来源:Zxxk.Com]

即ln x1－ln x2＝x1－x2.

由x1x2＝1得x2－－2ln x2
＝0(x2＞1)．(*) ……11分

再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.
……14分