2014年2月20日下午3：00—5：00

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

3.若
，
是两个单位向量，则“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.函数
的定义域是[来源:学_科_网]

A.
B.
C.
D.

5.已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果

为3，则可输入的实数
的值的个数是

A. 4 B. 3

C. 2 D. 1

6.设等差数列
的公
差为d，

若
的方差为1，则d等于

A.
B. 1

C.
D. ±1

7.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得

△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为

A.
B.
C.
D.

8.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：

① 若
，
，则
； ② 若
//

，
，则m //
；

③ 若
，
，
，则
；

④ 若
，
，
，则
．

其中正确命题的序号是

A.①③ 　B.①② 　

C.③④ D.②③

9.设
分别是椭圆的左、右焦点，与直线
相切的⊙
交椭圆于点E，且点E是直线

与⊙
的切点，则椭圆的离心率为

A.
B．

C．
D．

10.已知定义在[1，+∞）上的函数

，则

A．

函数
的值域为[1，4]；



　

B．

关于
的方程
（n∈N*）有
个不相等的实数根;[来源:学科网]



　

C．

当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数
的图象与
轴围成的面积为2;



　

D．

存在实数
，使得不等式
成立





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　．

12.已知直线
与圆O：

相交于A，B两点，且
，则
的

值是__________。

13.已知
、
满足条件
，

则
的取值范围是_________。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．其中，16—19题每小题满分为12分，20题为13分，21题14分；解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16.等差数
列
的各项均为正数，
，前
项和为
；
为等比数列，
,且
，
.

（Ⅰ）求通项公式
与
； (Ⅱ)求

17.某校从参加高三模拟考试的学生中随
机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；

(Ⅱ)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

18.已知函数
的图像经过点A（0，1）、
。

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调增区间；

(Ⅱ)已知
，且
的最大值为
，求
的值。

19．如图，在直三棱柱
中，
,

（Ⅰ）证明：
;

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正切值。

（Ⅲ）求点A到平面
的距离。

20. 已知椭圆
：
（
）经过（1，1）与（
，
）两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点的直线
与椭圆C交于A、B两点，椭圆
上一点
满足
．求证：
为定值．

21.已知函数
，
（其中
）．

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
内有两个零点，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当
时，
．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）

绵阳南山中学2014年春季高2011级二月月考

文科数学试题参考答案[来源:学科网]

一.选择题

题号

1

2

3

4

5

6[来源:学科网ZXXK]

7

8

9

10



答案

A

B

C

B

B

C

A

D

D

C




得到：当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，
可得：
，故D不正确．综上可知：只有C正确．故选C．

二．填空题

11. 24+12π

12.

13.
14.
15.

三．解答题

16. 解：　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意有解得或(舍去) ……4分

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. ………………………6分

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， …………8分

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…10分

＝ ＝－
………………………12分

17. 解： (1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.

………3分

(2)估计平均分为＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.

………6分

(3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人
数为60×0.3＝18(人)．

………7分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；
………8分

设“从样本中任取2人，至多有1
人在分数段[120,130)内”为事件A，

则基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)，(n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15种．

则事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)
，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种．
………11分

∴P(A)＝＝. ………12分

18. 解：（1）由
得：
即

。

当
，即

）时，
为增函数。

∴函数
的单调增区间为
。 ………6分

（2）
，即有
。

当
，即
时，
，得
；

当
，即
时，
，无解；

当
，即
时，
，矛盾。

故
。 ………12分

19.（1）证明：∵

中，
,
，

∴由正弦定理有
，∴
，又
，∴
。

从而
，即
,

又直三棱柱
中，
平面
，∴
，

∴
平面
,∴
………4分

（2）∵
平面
,∴直线
与平面
所成的角为
，

在
中AB=1,
, ∴
………8分

(3)(略)（利用等积变换）
………12分

20. 解：（Ⅰ）将（1，1）与（
，
）两点代入椭圆C的方程，

得
解得
．

∴椭圆PM2的方程为
． ………4分

（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

=
．………6分

同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时

=
．………8分

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），

则直线OM的方程为
，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由
解得
，
，

∴
=
， ………10分

同理
， ………11分

所以
=2×
+
=2，

故
=2为定值．
………13分

21. 解：（Ⅰ）
，

∴
（
，
），

由
，得
，由
，得
，

故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以函数
的极小值为
，无极大值． 4分

（Ⅱ）函数
，

则

，[来源:Zxxk.Com]

令
，∵
，解得
，或
（舍去），

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

函数
在区间
内有两个零点，

只需
即
∴

故实数a的取值范围是
． 9分

（Ⅲ）问题等价于
．由（Ⅰ）知
的最小值为
．

设
，
得
在
上单调递增，在
上单调递减．

∴
，

∵

=
，

∴
，∴
，故当
时，
． 14分