理科数学试题（命题人：罗福 王逍）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列不等式一定成立的是（ ）

A．
（
） B．
（
）

C．
（
） D．
（
）

2．已知命题

，
，则
是（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

3．设平面
与平面
相交于直线
，直线
在平面
内，直线
在平面
内，且
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知集合
，
，则
所含元素的个
数为（ ）

A．3 B．6 C．8 D．10

5．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的
距离是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．函数
的图象大致为（ ）

7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶
需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元．每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中．要求每天消耗A．B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中。公司共可获得的最大利润是（ ）

A．1800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3100元

8．过点(3,1)作圆
的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9
．如图，
、
是椭圆
与双曲线
的公
共焦点，A、B分别是
、
在第二、四象限的公共点，若四边形
为矩

形，则
的离心率是（ ）

A．
B．

C．
D
．

10．在平面上，
，
，
，若
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的体积是 。

12．向量
、
、
在正方形网格中的位置如图所示，若
（
），则
。

13．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行

劳动技术比赛，决出第1名到第5名的

名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5人的名次排列可能有 种不同情况?（填数字）

14．设当
时，函数
取得最大值，则
。

15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多
边形数，如三角形数l，3，6，10，…，第n个三角形数为
．记第n个
边形数为
，（k≥3），

以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数
，

正方形数

五边形数

六边形数

……

可以推测
的表达式，由此计算
。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．已知等差数列
的公差为2，其前n项和
。

（1）求p的值及
；

（2）若
，记数列
的前n项和为
，求使
成立的最小正整数n的值。

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
。

（1）求A；

（2）若△ABC的面积
，
，求
的值。

18．如图1，在Rt△ABC中 ，
，BC=3，AC=6，D、E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2。

（1）求证：A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3）线段BC是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？请说明理由。

[来源:Z,xx,k.Com]

19．已知函数
（其中
是不为
的实数），
，设

（1）判断函数
在
上的单调性；

（2）是否存在实数
，使得函数
的图象与函数
的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

20．已知曲线
。

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线
与曲线C交于不同的两点M，N，直线
y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线。

[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:学*科*网]

21．已知函
数
（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与x轴平行。

（1）求k的值；

（2）求
的单调区间；

（3）设
，其中
为
的导函数，证明：对任意
，
。

绵阳中学2011级高三第二次月考（2013.12）

二、解答题（本大题6小题，每小题5分，共25分）

11.
12. 4 13. 54
14 .
15. 1000

15. 【命题立意】本题考查观察、推理、归纳等能力，难度较大。

【解题思路】将已知的列表式做如下转化，三角形数：
；正方形数
；五边形数：
；六边形数：
；可以推测：
.所以

16. 解析（1）由已知
即
（2分）

又此等差数列的公差

（4分）

（2）由（1）知
（6分）

（8分）

（9分）
（10分）即
，又
,
使
成立的最小整数
的值为5.(12分)

18. 解:(Ⅰ)证明：因为
所以
所以

所以
平面
,所以
又因为
,所以
平面BCDE（3分）

(Ⅱ)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系

则
[来源:Zxxk.Com]

设平面
的法向量为

则
又
,
,

所以
令
，则
所以
设CM与平面
所
成的角为
因为
所以
所以
与平面
所成的角大小为
.（7分）

（Ⅲ）线段
上不存在点P，使平面
与平面
垂直，理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为
，其中
设平面
的法向量
，

则
又
所以
令
，则
，所以
.平面
平面
,当且仅当
，即
，解得
，与
矛盾.所以线段
上不存在点P，使平面
与平面
垂直.（12分）

19. 解：（Ⅰ）
，于是

①当
时，
，
在（0,3）上是增函数； ②当
时，
时，
，
在（0,
）上是减函数；
时，
，
在（
，3）上是增函数； ③当
时，
，
在（0,3）上是减函数……………5分

（Ⅱ）由已知得
，代入整理得
.于是题意即为直线
与
的图象有4 个不同的点。令
则

可绘出
的大致图象如右.由图象可知当
时满足有四个不同的交点.
存在实数
时满足条件…………………12分

20. （Ⅰ）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当
解得
所以m的取值范围是
（5分
）

（Ⅱ）证明：当
时，曲线C的方程为
点
的坐标分别
为（0,2），（0，-2）.

由
得
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以
，即
设点M,N的坐标分别为
则

直线BM的方程为
点G的坐标为

所以
即
故A,G,N三点共线.（13分）

21. (Ⅰ)由
得
由于曲线
在
处的切线与x轴平行，所以
，因此
（3分）

（Ⅱ）由(Ⅰ)得
，令
当
时，
；当
时，
又
，所以
时，
；
时，
. 因此
的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为
（8分）

(Ⅲ)证明因为
，所以
因此对任意
等价于
由（Ⅱ）知

所以

因此当
时，
单调递增；当
时
单调递增.

所以
的最大值为
故
设

因为
，所以
时，
单调递增，

故
时，
即
所以
[来源:Zxxk.Com]

因此对任意
（14分）

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