云南省部分名校高2014届12月份统一考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数
的实部与虚部相等，则实数b等于( )

A．3 B. 1 C.
D.

2. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜

｝，B＝｛x｜1＜
＜8｝，则（CUA）∩B等于（ ）

A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）

3.已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=
,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为( )

A．e2+e B．
C．e2-e D．

4.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a
>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的
，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )

A．600 B．400 C．300 D．200

5. 若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A B C D

6. 设向量
=（sinα，
）的模为
，则cos2α=（　　）

　 A．
B．
C．﹣
D．﹣

7. 已知正数x,y满足
，则
的最小值为( )

A．1 B．
C．
D．

8.
一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　　）

　 A．
B．

C．
D．

9. 函数y=sin（
ωx+φ）
在区间
上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（　　）

　A．
B．
C．
D．

10. P是双曲线
上的点，F1、F2是其焦点，且
，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

11．已知正四棱锥的各棱棱长都为
，则正四棱锥的外接球的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，
，且
，则不等式
的解集是( ）

A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如右图所示的程序框图的输出值
，则输入值

。

14. P为抛物线
上任意一点，P在
轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为 ．

15．已知AD是ΔABC的中线，若∠A=120°，
，则
的最小值是___
___.

16. 在
中，BC=
，AC=2，
的面积为4，则AB的长为 。

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．[来源:学§科§网]

18. （12分）在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．

区域

A

B

C

D



人数

20

10

5

15



（1）求这2人来自同一区域的概率；

（2）若这2人来
自区域A，D，并记来自区域A队员中的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

19.（12分）如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=
CD=2,点M在线段EC上。

(I)当点M为EC中点时，求证:BM//平面 ADEF；

(II)求证:平面BDE丄平面BEC；

(III)若平面说BDM与平面ABF所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为
时，求三棱锥M-BDE的体积.

20.（12分）已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅

有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
，

． 求四边形
面积
的最大值．

21.（12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅲ）若
，使
（
）成立，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.（10分）已知曲线C的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
( t为参数，0≤
＜
).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线
经过点(1,0)，求直线
被曲线C截得的线段AB的长.

23．（10分）设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R

(Ⅰ)解不等式f(x)≤5；

(Ⅱ)若
的定义域为R，求实数m的取值范围.

参考答案（理科数学）

一、选择题：

ABDDA BCCAB BD

二、填空题：

13.
14.
15. 1 16. 4 [来源:学#科#网Z#X#X#K]

三、解答题：

17.解：(1)设数列{an}的公比为q.

由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.

由条件可知q>0，故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝........................6

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a
n＝－(1＋2＋…＋n)＝
.

故＝
＝－2.

＋＋…＋＝－2＝－.

所以数列的前n项和为－………………………12

18.解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）=
=
，

所以这2人来自同一区域的概率是
． 　…（4分）

（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且

P（X=0）=

=
，P（X =1）=
=

P（X =2）=
=
…（8分）

所以ξ的分布列是：

X

0

1

2



P









ξ的数学期望为Eξ=0×
+1×
+2×
=
…（12分）

19.解：（1）证明 取
中点
，连结
．在△
中，
分别为
的中点，

则
∥
，且
．由已知
∥
，
，

因此，
∥
，且
．所以，四边形
为平行四边形．

于是，
∥
．又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
． ………..3分

（2）证明 在正方形
中，
．又平面

平面
，平面
平面
，知
平面
．所以
．

在直角梯形
中，
，
，算得
．

在△
中，
，可得
．故
平面
．

又因为
平面
，所以，平面
平面
．………..7分

（3）按如图建立空间直角坐标系，点
与坐标原点
重合.
设
，则
，又
，设
，则
，即
.

设
是平面

的法向量，则

,
.

取
，得
，即得平面
的一个法向量为
. ……..10分

由题可知，
是平面
的一个法向量.

因此，
，

即点
为
中点.此时，
，
为三棱锥
的高，

所以，

. ............. ………..12分

20.解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，
．

又
，
．

椭圆
的方程为
． …………………………………………………4分

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，得
． ……………………5分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

设
，
， …………………………8分

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

， [来源:学。科。网Z。X。X。K]

，……10分

，
当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四
边形
面积
的最大值为
． ……………………………12分

（法二）

，

．

．

四边形
的面积

， ………10分

． …………………………………………12分

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．

21.解：由已知函数
的定义域均为
,且
. …1分

（Ⅰ）函数

当
且
时,
;当
时,
.

所以函数
的单调减区间是
,增区间是
. ………………3分

（Ⅱ）因f(x)在
上为减函数，故
在
上恒成立．

所以当
时，
．

又

，

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． …………………………6分

（Ⅲ）命题“若
使
成立”等价于

“当
时，有
”．

由（Ⅱ），当
时，
，

．

问题等价于：“当
时，有
”． ………………………8分

当
时，由（Ⅱ），
在
上为减函数，

则
=
，故
．

当0<
时，由于

在
上为增函数，

故
的值域为
，即
．

由
的单调性和值域知，

唯一
，使
，且满足：

当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；

所以，
=
，
．

所以，
，与
矛盾，不合题意．

综上，得
． …………………………12分[来源:Zxxk.Com]

22.解：（1）曲线C的直角坐标方程为
，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F(1,0)的
抛物线；

（2）直线
的参数方程为
( t为参数，0
≤
＜
).故l经过点（0，1）；若直线
经过点(1,0)，则

直线
的参
数方程为
（t为参数）

代入
，得

设A、B对应的参数分别为
，则

=8
[来源:学*科*网Z*X*X*K]