东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷

高三 数学（理科）

命题校：65中 2013年12月

本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合
，
，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D） R

2. 在复平面内，复数
对应的点在( )

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3. 等差数列
中，
，则
等于( )

（A）28 （B）14 （C）3.5 （D）7

4. 已知
，
为不重合的两个平面，直线

，那么“
”是“
”的( )

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

5. 若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为( )

（A）

（B）
（C）
（D）

6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的

体积是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

7. 与直线
和圆
都相切的半径最小的圆的方程是

( )

（A）
（B）

（C）
（D）

8. 已知函数
的定义域为
，若存在常数
，对任意
，有
，则称
为
函数．给出下列函数：①
；②
；③
；④
是定义在
上的奇函数，且满足对一切实数
均有　
．其中是
函数的序号为 ( )

（A）①②　　　 （B）①③　　　

（C）②④ （D
）③④

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 命题“

”的否定是 .

10. 过双曲线
的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程

是 .(结果写成一般式)

11. 若实数
满足条件
则
的最大值为_____.

12. 设
，
，
，则
的大小关系是_____.（从小到大用“
”连接）

13. 曲线
与
直线
及
轴所围成的图形
的面积为
．

14. 无穷等差数列
的各项均为整数，首项为
、公差为
，
是其前
项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；

①对任意满足条件的
，存在
，使得99一定是数列
中的一项；

②对任意满足条件的
，存在
，使得30一
定是数列
中的一项；

③存在满足条件的数列
，使得对任意的

N
，
成立。

其中正确命题为 。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤。

15．（本小题满分
分）

已知函数
的图象如图所示.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求函数
的单调递增区间.

[来源:学科网]

16．（本小题满分
分）[来源:学科网]

设
中的内角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，且
,
.

（Ⅰ）当
时，求角
的度数；

（Ⅱ）求
面积的最大值.

17．（本小题满分13分）

在三棱锥
中，
和
是边长为
的等边三角形，
，
是
中点．

（Ⅰ）在棱
上求一点
，使得
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

18．（本小题满分13分）

已知数列
是等差数列,
，数列
的前n项和是
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅲ）记
，求证：
.

19．（本小题满分
分）

已知函数
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求实数
的值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）当
时，记函数
的最小值为
，求证：
．

20．（本小题满分
分）

已知椭圆

经过点
其离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ)设直线
与椭圆
相交于A、B两点，以线段
为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆
上，
为坐标原点.求
的取值范围.

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案

高三数学（理科）

参考答案

（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）

一.选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

B

A

C

D

C

D



二、填空题

9.
10.
11.

12.
13.
14. ①③（答对1个给2分，有错误答案不给分）

三、解答题

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由图可知
,
， -------------2分

又由
得，
，又
，得



， ------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

------------6分

因为

------------9分

所以，
，即
----------12分[来源:Zxxk.Com]

故函数
的单调增区间为
. --------
--13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
. ---------------2分

因为
，
，由正弦定理
可得
. -------------4分

因为
，所以
是锐角，所以
. ---------------6分

（Ⅱ）因为
的面积
， ------------------
7分

所以当
最大时，
的面积最大.

因为
，所以
. -----------------9分

因为
，所以
， ----------------11分

所以
，（当
时等号成立） -----------------12分

所以
面积的最大值为
. ---------------13分

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）当
为棱
中点时，
∥平面
. --------------------1分

证明如下：

分别为
中点，

∥
--------------------2分

又
平面
，
平面

∥平面
. --------------------4分

（Ⅱ）连结
，

，
为
中点，
,

⊥
，
. --------------------5分

同理,
⊥
，
. --------------------6分

又
,

,

.

⊥
. --------------------7分

⊥
,
⊥
,
,

⊥平面
. --------------------8分[来源:Zxxk.Com]

平面

平面
⊥平面
. --------------------9分

（Ⅲ）如图,建立空间直角坐标系
.

则
，
，
， ----------10分

，
.

由（Ⅱ）知
是平面

的一个法向量. ----------11分

设平面
的法向量为
，

则
.

令
，则
，

平面
的一个法向量
. --------------------12分

.

二面角
的平面角为锐角，

所求二面角
的余弦值为
． --------------------13分

18.（本小题满分13分）

解：（1）由已知
----------2分

解得
----------3分

-----------4分

（2）由于
， ①

令
=1，得
解得
， -----------5分

当
时，
②

－②得
， --------------------6分

--------------------7分

又
,
--------------------8分

∴数列