云南省部分名校2014届高三12月统一考试 文科数学

文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数
的实部与虚部相等，则实数b等于( )

A．3 B. 1 C.
D.

2. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜

｝，B＝｛x｜1＜
＜8｝，则（CUA）∩B等于（ ）

A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）[来源:Zxxk.Com]

3
. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是（　　）

　A．
B．
C．
D．

4.已知等差数列
满足
则有( )

A．
B．
C．
D．

5. 若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(
x+k)的图象是( )

A B C D

6. 设向量
=（sinα，
）的模为
，则c
os2α=（　　）

　 A．
B．﹣
C．﹣
D．

7. 已知正数x,y满足
，则
的最小值为( )

A．1 B．
C．
D．

8. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　　）



　 A．
B．

C．
D．

9. 函数y=sin（ωx+φ）
在
区间
上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（　　）

　A．
B．
C．
D．

10. P是双曲线
上的点，F1、F
2是其焦点，且
，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　　
）

　 A．
B．
C．
D．

11．已知正四棱锥的各棱棱长都为
，则正四棱锥的外接球的表面积为( )

A．
B．
C．
D．

12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，
，且
，则不等式
的解集是( ）

A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如右图所示的程序框图的输出值

，则输入值
。

14. P为抛物线
上任意一点，P在
轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为 ．

15．已知AD是ΔABC的中线，若∠A=120°，
，则
的最小值是______.

16. 在
中，BC=
，AC=2，
的面积为4，则AB的长为 。

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（1
2分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．

18.（12分）为预防H7N9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，
为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：

分组

A组

B组

C组



疫苗有效

673

a[来源:学,科,网]

b



疫苗无效

77

90

c



已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．

（I）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？

（II）已知b≥465，c ≥30，求通过测试的概率．

19.（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形
，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；

（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

20.（12分）已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅

有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
，

． 求四边形
面积
的最大值．

21.（12分）已知函数f（x）=
，x∈[1，3]，

（1）求f（x）的最大值与最小值；

（2）若f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.（10分）已知曲线C的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
( t为参数，0≤
＜
).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线
经过点(1,0)，求直线
被曲线C截得的线段AB的长.

23．（10分）设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R

(Ⅰ)解不等式f(x)≤5；

(Ⅱ)若
的定义域为R，求实数m的取值范围.

[来源:Z+xx+k.Com]

参考答案（文科数学）

一、选择题：

ABBCA DCCAD BD

二、填空题：

13. 13.
14.
15. 1 16. 4

三、解答题：

17.解：(1)设数列{an}的公比为q.

由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.

由条件可知q>0，故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝........................6

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝
.

故＝
＝－2.

＋＋…＋＝－2＝－.

所以数列的前n项和为－………………………12

18.解：（I）∵
，∴a=660…（2分）

∵b+c=2000﹣673﹣77﹣660﹣
90=500，…（4分）

∴应在C组抽取样个数是
（个）； …（6分）

（II）∵b+c=500，b≥465，c≥30，∴（b，c）的可能是

（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），…（8分）

若测试没有通过，则77+90+c＞2000×（1﹣90%）=200，c＞33，

（b，c）的可能性是（465，35），（466，34），

通过测试的概率是
． …（12分）

19.解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD
平面ABCD，CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD…（3分）

又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，

∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD

∵EF
平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）

（2）∵EF∥CD，EF
平面EFG，CD
平面EFG，

∴CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，

∴VM﹣EFG=VD﹣EFG，

取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，

∵EF⊥平面PAD，EH
平面PAD，∴EF⊥EH

于是S△EFH=
EF×EH=2=S△EFG，

∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形

∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为

，…（10分）

因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG=
×S△EFG×
=
．…（12分）

20. 解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．[来源:学科网ZXXK]

构成等差数列，

，
．

又
，
．

椭圆
的方程为
． …………………………………………………4分

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，得
． ……………………5分

由直线
与
椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

设
，
， ………………8分

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

，

，……10分

，
当
时，
，
，
．

当
时
，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积
的最大值为
． ……………………………12分

（法二）

，

．

．

四边形
的面积

， ………10分

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．…………………………………………12分

21. 解：（1）因为函数f（x）=
﹣lnx，

所以f′（x）=
，令f′（x）=0得x=±2，

因为x
[1，3
，

当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，

∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=
﹣ln2；

又f（1）=
，f（3）=
，

∵ln3＞1∴

∴f（1）＞f（3），

∴x=1时 f（x）的最大值为
，x=2时函数取得最小值为
﹣ln2．

（2）由（1）知当x
[1，3
时，f（x）
，

故对任意x
[1，3
，f（x）＜4﹣at恒成立，

只要4﹣at＞
对任意t
[0，2
恒成立，即at
恒成立

记 g（t）=at，t
[0，2

∴
，解得a
，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，
）．

22.解：（1）曲线C的直角坐标方程为
，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F(1,0)的抛物线；

（2）直线
的参数方程为
( t为参数，0≤
＜
).故l经过点（0，1）；若直线
经过点(1,0)，则

直线
的参数方程为
（t为参数）

代入
，得

设A、B对应的参数分别为
，则

=8