2014年哈师大附中第一次高考模拟考试

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，
，则

A．R

B．

C．

D．



2．若复数z满足iz = 2 + 4i，则复数z =

A．2 + 4i

B．2 - 4i

C．4 - 2i

D．4 + 2i



3．在
的二项展开式中，第二项的系数为

A．10

B．-10

C．5

D．-5



4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：

①
，②
，③
，④
，

则输出的函数是

A．

B．

C．

D．

5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：

① 若m∥n，n∥α，则m∥α；

② 若m∥β，α∥β，则m∥α；



③ 若m⊥n，n⊥α，则m∥α；

④ 若m⊥β，α⊥β，则m∥α。



其中正确命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4



6．等差数列
的前n项和为Sn，若a2 + a4 + a6 = 12，则S7的值是

A．21

B．24

C．28

D．7



7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A．

B．



C．

D．



8．

A．0

B．



C．

D．



9．变量x，y满足约束条件
若使z = ax + y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是

A．

B．

C．

D．



10．一个五位自然数
，
，
，当且仅当a1 > a2 > a3，a3 < a4 < a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为

A．110

B．137

C．145

D．146



11．双曲线
的右焦点为
，以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为
，则双曲线C的离心率为

A．

B．

C．

D．



12．已知函数
，若存在k使得函数
的值域是
，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．



第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量a，b满足
，
，且a与b的夹角为
，则
__________。

14．若
，则
__________。

15．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

16．已知数列
的通项公式为
，前n项和为Sn。若对于任意正整数n，不等式
恒成立，则常数m所能取得的最大整数为__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且
。

（1）求内角B的余弦值；

（2）若
，求ΔABC的面积．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1。

（1）若点E在SD上，且AE⊥SD，证明：AE⊥平面SDC；

（2）若三棱锥S—ABC的体积
，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小。

19．（本小题满分12分）

某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API

















空气质量

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重污染

重度污染



天数

4

13

18

30

9

11

15



（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

附：

P(K2 ≥ k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





非重度污染

重度污染

合计



供暖季









非供暖季









合计





100



20．（本小题满分12分）

椭圆
的离心率为
，且经过点
。直线
与椭圆M交于A，C两点，直线
与椭圆M交于B，D两点，四边形ABCD是平行四边形。

（1）求椭圆M的方程；

（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点D；

（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值。

21．（本小题满分12分）

已知函数
（e为自然对数的底数）。

（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
，存在函数
，使得成立
成立，求实数t的取值范围。

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）

选修4 – 1：几何证明选讲

如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ = ∠PBC。求证：

（1）
；

（2）ΔADQ ∽ ΔDBQ。

23．（本小题满分10分）

选修4 – 4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l经过定点
，倾斜角为

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求
的值。

22．（本小题满分10分）

选修4 – 5：不等式选讲

设函数
。

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于x的不等式
在
上无解，求实数t的取值范围。

2014年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

A

D

C

D

B

B

D

A

B



二、填空题

13．

14．

15．4π

5



三、解答题

17．解：(Ⅰ)

……………………….2分

………………………4分

又因为

所以
……………………….6分

(Ⅱ)
……………………….8分

又因为
……………………….10分

所以
……………………….12分

18．(Ⅰ)证明：
侧棱
底面
，
底面

. ……………………….1分

又
底面
是直角梯形，
垂直于
和

,又

侧面
,……………………….3分

侧面

平面
……………………….5分

(Ⅱ) 连结
,
底面
是直角梯形，
垂直于
和
,

,
,设
，则
，
三棱锥
,

.……………………….7分

如图建系，则
,由题意平面
的一个法向量为
，不妨设平面
的一个法向量为
，

,则
,得
，不妨令
，则
……………………….10分

,……………………….11分

设面
与面
所成二面角为
，则

……………………….12分

19．解：

（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A……1分

由
，得
，频数为39，……3分

……………………….4分

（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染

重度污染

合计



供暖季

22

8

30



非供暖季

63

7

70



合计

85

15

100



……………………….8分

K2的观测值
……………………….10分

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分

20．解：

（Ⅰ）依题意有
，又因为
，所以得

故椭圆
的方程为
. ……3分

（Ⅱ）依题意，点
满足

所以
是方程
的两个根.

得

所以线段
的中点为
.

同理，所以线段
的中点为
.……………………….5分

因为四边形
是平行四边形，所以

解得，
或
(舍).

即平行四边形
的对角线
和
相交于原点
. ……7分

（Ⅲ）点
满足

所以
是方程
的两个根，即

故
.

同理，
. ……………………….9分

又因为
，所以
，其中
.

从而菱形
的面积
为

，

整理得
，其中
.……………………….10分

故，当
或
时，菱形
的面积最小，该最小值为
. ……12分

21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，
……………………….2分

∴当
时，
，当
时，
。

∴
在
上单调递增，在
上单调递减。……………………….4分

（Ⅱ）假设存在
，使得
成立，则
。

∵

∴
………………………6分

当
时，
，
在
上单调递减，∴
，即
。

……………………….8分

②当
时，
，
在
上单调递增，∴
，即
。

……………………….10分

③当
时，

在
，
，
在
上单调递减

在
，
，
在
上单调递增

所以
，即
——

由（Ⅰ）知，
在
上单调递减

故
，而
，所以不等式