湖北省部分重点中学

2014届高三第一次联考

数学（理）试题

第一部分 选择题

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑。

1．已知两个集合
，
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

2
．若
是纯虚数，则
=（ ）[来源:学.科.网]

A．
B．
C．
D．

3．已知命题
:所有素数都是偶数，则
是 （ ）

A．所有的素数都不是偶数 B．有些素数是偶数

C．存在一个素数不是偶数 D．存在一个素数是偶数

4．设
，
函数
的导函数为
，且
是奇函数，则
（ ）

A．0 B．1 C．2 D．

5．三个实数成等差数列，首项是9．若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列
，则
的所有取值中的最小值是 （ ）

A． 1 B． 4 C． 36 D．49

6．已知函数
的定义域为
，值域为
．下列关于函数
的说法：①当
时，
；②将
的图像补上点
，得到的图像必定是一条连续的曲线；③
是
上的单调函数；④
的图象与坐标轴只有一个交点．其中正确命题的个数为（ ）

A．1 B． 2 C．3 D．4

7．等比数列
的前
项和为
，若
，
，
成等差数列，则其公比
为 （ ）

A．

B．

C．
D．

8．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）

A． 4 B．6 C．8 D．10

9．设△ABC的内角
A，B，C所对的边分别为
，若三边的
长为连续的三个正整数，且
，
，则
为 （
）

A．4:3:2 B．5:4:3 C．6:5:4 D．7:6:5

10．在
所在的平面内，点
满足


，
，且对于任意实数
，
恒有

， 则
（ ）

A．
B．

C．

D．

第二部分 非选择题

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

11．设球的半径为时间
的函数
，若球的体积以均匀速度
增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 ．

12．在△ABC中，边
角
，过
作
，且
，则
．

13．已知两个实数
满足
且
，则
三个数从小到大的关系是 （用“
”表示）．

14．已知
，各项均为正数的数列
满足
，若
，则
．

15．已知函数
．如
果存在实数
，使函数
，

在
处取得最小值，则实数
的最大值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共75分。

16（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求
的最小正周期和最小值；

（2）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，

，
为
的中点．

（1）若
，求证：平面
平面
；

（2）点
在线段
上，
，若平面
平面ABCD，且
，求二面角
的大小．

18．（本小题满分12分）设等差数列
的前
项和为
．且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，数列
满足：


，求数列
的前
项和
．

19．（本小题满分12分）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果．

（1）求能听到立体声效果的概率；

（2）求听不到声音的概率．（结果精确到0．01）

20（本小题满分13分）已知椭圆
：
（
）的右焦点
，右顶点
,右准线
且
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）动直线
：
与椭圆
有且只有一个交点
，且与右准线相交于点Q，试探究在平面直角坐标系内是否存在点
，使得以PQ为直径的圆恒过定点
？若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）设
．

（1） 若
，求
最大值;

（2）已知正数
，
满足
．求证：
；

（3） 已知
，正数
满足
．证明:

．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考

数学（理）试题答案与评分细则

1-5：BBCBA
6-10：AADCC

11.1 12.
13.
14.
(可不化简) 15.

.(5分)

19解：（1）因为
A与B中都不工作的概率为（1-0.90）（1-0.8）；

所以能听到立体声效果的概率为[1-（1-0.90）（1-0.8）]*0.95*0.8*0.7=0.52136

.（5分）

(2)当A、B都不工作，或C不工作，或D、E都不工作
时，就听不到音响设备的声音.其否定是：A、B至少有1个工
作，且C工作，且D、E中至少有一个工作.所以，听不到声音的概率为1-[1-（1-0.90）（1-0.8）]*0.95*[1-(1-0.8)（1-0.7）]=1-0.875
0.13（10分）

答：(1) 能听到立体声效果的概率约为0.52；（2）听不到声音的概率为0.13.（12分）

，椭圆C的标准方程为

. (5分)

得：
，（7分）

.

,
,即P
.（9分）

假设存在点M满足题意，则由椭圆的对称性知，点M应在
轴上，不妨设点M
.

又Q
，
，
，若以PQ为直径的圆恒过定点M，则



+
=
恒成立，故
，即
. （13分）

存在点M适合题意，点M与右焦点重合，其坐标为（1,0）.

（
）

时，
，当
时，
.即
在
上递增，在
递减.故
时，有
.(3分)[来源:学科网ZXXK]

，则

易证
在在
上递增，在
上递减.

时，有

.

,即
，

即证
（8分）

当
时，命题显然成立；

假设当
时，命题成立，即当
时，

.则当
，即当
时，

，又假设知

，即

=
.

这说明当
时，命题也成立.[来源:学科网]

综
上①②知，当
，正数
满足
时

（14分）

（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）[来源:Z#xx#k.Com]