武汉市新洲区2014届高三期末目标检测

理 科 数 学

满分：15 0分 考试时间：1 2 0分钟 2014.1

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1．如图，在复平面内，若复数
对应的向量分别是
，

则复数
所对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 设等比数列
的公比
，前项和为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
=（－1，2）,
,
,则
（ ）

A．4 B．－4 C．－6 D．3

4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（　　）

A．
B．
C．
D．

5、函数
=

R)的图像如图所示，如果

，且
，则
( )

A． 1　 　 B．
C．
　　 D．

6．已知
为两条不同的直线，为一个平面。若
，则“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 　 B.必要不充分条件

C. 充要条件 　　 D. 既不充分又不必要条件

7．函数
具有下列特征：
，则
的图形可以是下图中的（　　　）

8．已知双曲线
的右焦点是F, 过点F且倾角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（ ）

A.
B. (1,2) C.
D.

9．已知函数f（x）对于任意的x∈R，导函数f＇(x)都存在，且满足
≤0，则必有（）

A．
B．

C．
D．

10．如图，从点
发出的光线，沿平行于抛物线
的对称轴方向射向此抛物线上的点P，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线
上的点N，经直线反射后又回到点M，则
等于（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置.

11．在
的展开式中的常数项为p，则
.

12．已知实数
满足
若目标函数
取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为 　　.

13. 设x，y，z∈R+且
，则
的最小值是　　.

14. 函数
的值域是_ ________

15．对于
个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的
行
列的矩形数阵就是其中之一．将
个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为
，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为
，并设其中最大的数为
.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①和
必相等； ②和
可能相等；

③可能大于
； ④
可能大于．

以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）在数列
中，
，并且对于任意n∈N*，都有
．

（1）证明数列
为等差数列，并求
的通项公式；

（2）设数列
的前n项和为
，求使得
的最小正整数.

17.（本小题满分12分）已知、
、是
中
、
、
的对边,
,
，
．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求
的值．

18. （本小题满分12分）请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）用规格长宽高=
外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?

（2）若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.6元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？

19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C.。

(1)求证：D为棱BB1中点；（2）
为何值时，二面角A －A1D － C的平面角为600。

20. （本小题满分13分）如图所示，设抛物线
的焦点为
，且其准线与轴交于
，以
，
为焦点，离心率
的椭圆
与抛物线
在轴上方的一个交点为P

（1）当
时，求椭圆
的方程；

（2）是否存在实数，使得
的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由并求Sin∠PF1F2的值。

21. （本小题满分14分）如下图，过曲线
：
上一点
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
，然后再过
作曲线
的切线
交轴于点
，又过
作轴的垂线交曲线
于点
，
，以此类推，过点
的切线
与轴相交于点
，再过点
作轴的垂线交曲线
于点
（
N
）．(1) 求
、
及数列
的通项公式；(2) 设曲线
与切线
及直线
所围成的图形面积为
，求
的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列
的前项和为
，求证：

N
.

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数学试题（理科） 参考答案

一、选择题

BCCAD DBCAB

二、填空题

11.21 12.-1 13.
14.
15. ②③

三．解答题

16.解：(1)
，因为
，所以
，

∴ 数列
是首项为1，公差为2的等差数列，

∴
，从而
…………………………………………6分

(2) 因为

所以

，

由，

得，

最小正整数为77.………………………………………………12分

17.解（Ⅰ）在
中，由余弦定理得，

即
，
，解得
……………………6分（Ⅱ）由
得为钝角，所以

在
中， 由正弦定理，得

则
由于为锐角，则

……………12分

18.解（1）
，

所以，
，当
时，V递增，当
时，V递减，

所以，当x=20时，V最大.

此时正四棱柱形灯箱底面边长
，高为
.

用规格为
外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，

至少装下
=125个灯箱.答：至少装下125个灯箱. ………6分

（2）
（
）,

所以x=15cm时侧面积最大，最大值是
（cm2）此时获利最大，

最大利润为
（元）

.答：每个灯箱最大利润1080元. ……………………12分

19.解：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF。

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C

∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分

又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA1C1C

由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，

又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，

又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝
AA1 ＝
BB1，

所以D点为棱BB1的中点； …………6分

（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝，则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) …………7分

所以，
………8分

设面DA1C的法向量为

则

可取

又可取平面AA1DB的法向量

cos〈
〉
………………10分

据题意有：
，……………………………………11分

解得：
＝
………………………………12分

(2)解法2：

延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，

过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； ………9分

设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝；

在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG。

在
DBG中，BH ＝
＝
， …………10分

在
CHB中，tan∠CHB ＝
＝
，

据题意有：
＝ tan600 ＝
，

解得：
所以
＝
。 ………………12

20、解：（1）抛物线
的焦点为
………………１分

椭圆
的半焦距
，离心率
，

所以椭圆
的长半轴长
，短半轴长
　　………………３分

所以椭圆
的方程为
　………………４分

当
时，椭圆
的方程
　　………………６分

（2）假设存在满足条件的实数

由
，解得
　………………８分

，
，
　………………１0分

所以
的三条边的边长分别是
，
，

所以不存在m使得
的三条边的边长是连续的自然数

COS∠AF1F2＝

则
………………………………………13分

21.1) 解: 由
，设直线
的斜率为
，则
.∴直线
的方程为
.令
，得
， …1分

∴
， ∴
. ∴
.

∴直线
的方程为
.令
，得
. …2分

一般地，直线
的方程为
，

由于点
在直线
上，∴
. …3分

∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列.

∴
. …

4分

（2）解：

. ……6分

（3）证明：
…8分

∴
，
.

要证明
，只要证明
，即只要证明
.9分

∴不等式
对一切
N
都成立. ……14分

证法3:令
,则
,

当
时,

,

∴函数
在
上单调递增. ∴当
时,
.

∵
N
, ∴
, 即
.∴
.

∴不等式
对一切
N
都成立. ……14分