荆州市2014届高中毕业班质量检查（Ⅱ）

数学理

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知复数z＝2＋i，
是z的共轭复数，则
对应的点位于

A、第一象限　　　　B、第二象限　　　　C、第三象限　　　　　D、第四象限

2、已知全集U＝R，集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|
≤1}，则
＝

A、（－
，1）　　 B、（1，＋
）　　　C、（－
，1］　　　D、［1，＋
）

3、下列命题中，真命题的是

　C、a－b＞0是a3－b3＞0的充分不必要条件

D、ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分条件

4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为、

A、
　　　　　　B、

C、
　　　　　　D、2

5、点P（x，y）为不等式组
表示的平面区域内一点，则x＋2y的取值范围为

A、［－
，
］　　　　B、［－2，
］　　　C、［－1,2］　　　D［－2,2］

6、如图，在由x＝0，y＝0，x＝
及y＝cox围成区域内任取一点，则该点落在x＝0，y＝sinx及y＝cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为

A、1－
　　　　　　　　B、
－1

C、
　　　　　　　　D、3－2

7、若
，则3cos2α＝sin（
－α），则sin2α的值为

　A、
　　　　　　　　　 B、－
　　　　　　　 C、
　　　　　　D、－
　

8、抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线
的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且｜MF｜＝2p，则双曲线的离心率为

　A、
　　　　　　　　 B、2　　　　　　　　　 C、
　　　　　　D、
　

9、设函数f（x）＝（x－1）kcosx（k
），则

A、当k＝2013时，f（x）在x＝1处取得极小值

B、当k＝2013时，f（x）在x＝1处取得极大值

　C、当k＝2014时，f（x）在x＝1处取得极小值

　D、当k＝2014时，f（x）在x＝1处取得极大值

10、若直线l同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l为该三角形的“平分线”，已知△ABC三边之长分别为3，4，5，则△ABC的“平分线”的条数为

A、0　　　　　　　　　 B、1　　　　　　　　　 C、2　　　　　　D、3　

二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．

（一）必考题：

11、已知向量a，b满足b＝（1，
），b·（a－b）＝－3，则向量a在b上的投影为＿＿＿。

12、已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式
的展开式中常数项是＿＿

13、设a，b，c为正数，a＋b＋4c2＝1，则
的最大值是＿＿＿＿＿，此时a＋b＋c＝＿＿＿＿

14、若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A′，则
，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出
＿＿＿＿

类似的，若O为四面体ABCD内部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于
，则
＿＿＿＿＿

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15、（选修4-1，几何证明选讲）已知⊙O的半径R＝2，P为直径AB延长线上一点，PB＝3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙O上一点，且
，DE交AB于F，则OF＝＿＿＿＿

16、（选修4-4，坐标系与参数方程）设P的极坐标为（2，
），直线l过点P，且与
平行，则直线l的极坐标方程为＿＿＿＿

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）点P在以原点为圆心的单位圆上运动，点P从A（
）出发按逆时针方向匀速转动时，每秒钟转
弧度，点Q（－1，－
）为定点，记经过x（x≥0）秒后，

。

（I）求f（x）的解析式，并求f（x）的值域；

（II）若
，且f（x）在［5,6］上单调递增，求
的所有可能的取值。

18、（本小题满分12分）已知等差数列{
}的公差d不为零，Sn为其前n项和，S6＝5S3

（I）求证：
成等比数列；

（III）若
＝2，且
为等比数列{
}的前三项，求数列｜
｜的最大项的值。

19、（本小题满分12分）某班数学老师对班上50名同学一次考试的数学成绩进行统计，得到如下统计表：

(1)求表中a，b，c的值，并估计该班的平均分x；

(II)若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况,记X为所选3

人中分数在［30,50)的同学的人数，求X的概率分布列和均值EX

20.（本小题满分12分）如图，△ABC中,AB =2，BC =1，∠ABC =900，D ,E分别为AB,AC上的

点，DE//BC,将△ADE沿DE折到△A'DE的位置，使平面A'DE⊥平面BCED.

(1)当D为AB的中点时，设平面A'BC与平面A'DE所成的二面角的平面角为α(0<α<
)，直线A'C与平面A'DE所成角为
，求tan（
）的值；

(II）当D点在AB边上运动时，求四梭锥A' -BCED体积的最大值

21、（本小题满分13分）已知动圆P过定点A（－3，0），且与圆B：（x－3）2＋y2＝64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点。

（I）求曲线C的方程；

（II）是否存在常数
，使
总成立，若存在，求
；若不存在，说明理由；

（III）求△MNQ的面积S的最大值。

22、（本小题满分14分）函数f（x）
是一个非常简洁而重要的函数，为了讨论其性质，可以利用对数恒等式将其变形：
。仿照该变形，研究函数

（I）求
在x＝1处的切线方程，并讨论
的单调性。

（II）当a＞－1时，讨论关于x的方程
解的个数，（

的导函数）