湖北省部分重点中学2014届高三二月联考

高三数学试卷

命题学校：江夏一中

考试时间：2014年2月6日下午15:00—17:00 试卷满分：150分

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．已知
，为虚数单位，且
，则
的值为 ( ）

A．4 B．4+4 C．
D．2

2．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U = AB，则集合
的真子集共有

A．3个 B．6个 C．7个 D．8个

3．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）

A．向左平移
单位 B．向右平移
单位 C．向右平移
单位 D．向左平移
单位

4．半径为R的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ）

A、
B、
C、
D、

5．已知数据
是武汉市
个普通职工的2013年的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收入
（约900亿元），则这
个数据中，下列说法正确的是（ ）

A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

6．在各项均为正数的等比数列
中，
，则下列结论中正确的是（ ）

A．数列
是递增数列； B．数列
是递减数列；

C．数列
既不是递增数列也不是递减数列；

D．数列
有可能是递增数列也有可能是递减数列．

7．已知实数
，对于定义在上的函数
，有下述命题：

①“
是奇函数”的充要条件是“函数
的图像关于点
对称”；

②“
是偶函数”的充要条件是“函数
的图像关于直线
对称”；

③“
是
的一个周期”的充要条件是“对任意的
，都有
”；

④ “函数
与
的图像关于轴对称”的充要条件是“
”

其中正确命题的序号是( )

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

8．在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，

则·的最大值为 (　　)

A．－ B．－ C．－ D．－

9．设
是双曲线
的两个焦点，是
上一点，

若
，且
的最小内角为
，则
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，若
，

且

，则
（ ）

A. 2 B. 4 C.8 D. 随值变化

填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

必考题（11—14题）

11．执行如图所示的程序框图，输出的
= ．

12．若不等式组
表示的平面区域是

一个三角形，则的取值范围是　 　.

13．已知椭圆
的面积计算公式是
，

则
________；

14. 设数列
这个数列第2010项的值是________；

这个数列中，第2010个值为1的项的序号是　 　.

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，AB为半径为2的圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，

垂足为E，弦BM与CD交于点F．则
＋BF·BM＝　　　　　

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知锐角
的三个内角
所对的边分别为
。

已知
。

求角
的大小。

求
的取值范围。

18．(本小题满分12分)

某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



甲

11.6

12.2

13.2

13.9

14.0

11.5

13.1

14.5

11.7

14.3



乙

12.3

13.3

14.3

11.7

12.0

12.8

13.2

13.8

14.1

12.5



(1)请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．

(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．

(3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，四边形
中（图1），是
的中点，
，

，

将（图1）沿直线
折起，使二面角
为
（如图2）

（1）求证：
平面
；

（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值。

20．(本小题满分12分)

求数列
的通项公式
；

当
时，数列中是否存在含有
在内的三项构成等差数列，若存在 ，请求出来；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分13分）

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

22．（本小题满分14分）

已知函数

当
时，讨论
的单调性；

当
时，若
恒成立，求满足条件的正整数的值；

求证：

湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三理数参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

C

A

B

C

A

D

D

A



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 8194 12．
13. 14.
，8076181 15. 16 16.
　

三、 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（1）由正弦定理可知
……………………2分

即
。

由余弦定理得
……………………4分

所以
…………………5分

（2）
，故

所以

=
=
…………………8分

因
为锐角三角形，所以

…………………10分

的取值范围为
…………………12分

18． 解　(1)茎叶图

………………3分

从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，

应选派乙同学代表班级参加比赛较好． ………………4分

(2)设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，

则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为

P＝1－P()()＝1－×＝. ………………7分

(3)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，

则|x－y|<0.8， 得－0.8＋x

如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16， ………………10分

则P(|x－y|<0.8)＝P(－0.8＋x

19.解：如图取BD中点M，连接AM，ME。∵

∵
，



,

所以
是BC为斜边的直角三角形，
,

∵是
的中点,∴ME为
的中位线
，

,

是二面角
的平面角

=
…………………3分

,
且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM

∵
,

为等腰直角三角形
，

………………6分

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系
，

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),
，
,D
,C
,

………8分

设平面ACD的法向量为

则

…………………………10分

所以直线AE与平面ADC所成角的正弦值为
…………………………12分

20．解：由题意
①

②

由②-①得
，又

∴
，故数列
从第二项开始为等比数列…………………………3分

将
代入①式，
，∴
时，

∴数列
的通项
…………………………6分

（2）
∴
…………………………8分

假设存在包含
的三项成等差数列

不妨设
且

……10分

………………………12分

21解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，

故设a＝2m，c＝m，则b＝m．

直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，

即mx－2my－2m2＝0．

所以 ＝，解得m＝1．

所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1． …………………4分

由得E(，)，F(－，－)． ………………….6分

又F2(，0)，所以＝(－，)，＝(－－，－)，

所以·＝(－)×(－－)＋×(－)＝＞0．

所以∠EF2F是锐角． ……………… 8分

（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0),

直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；

直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………10分

解法一:设圆G的圆心为((－)，h),

则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2．

OG2＝(－)2＋h2．

OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝