荆门市2013-2014学年度高三元月调考

数学（理）参考答案及评分说明

命题：荆门外校 审题：市教研室 龙泉中学

一．选择题

1~10 DBDAC DBCDC

二．填空题

11．2 12．
13．
14．
15．（1）
;（2）8

三．解答题

16．（Ⅰ）

………………………………………………………………………4分

时,
,

∴函数
的值域是
……………………………………………………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得
，则
,

由题意可知：
，则
,

∴
，故
……………………………………………………………9分

由余弦定理，有
,

∴
,

故
，所以
最大值为4. …………………………………………………12分

17．（1）易知半圆CMD的半径为x，故半圆CMD的弧长为
,

∴
…………………………………………………4分

依题意知：0 < x < y，∴
,

∴
…………………………………………………6分

（2）设凹槽的强度为T，则有
………………………………………8分

…………………………………………10分

因为
，∴当
时，凹槽的强度最大,

答: 当
时，凹槽的强度最大． ………………………………………………12分

18．方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
，

∴
平面PAD， ………………………………………………………………2分

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD； ……………………………………………………………4分

（II）过P作AD的垂线，垂足为O，

∵
，则PO平面ABCD．

连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， ……………………… 6分

∵PA=PD
，∴
，

得
，

，故
，

设平面EFG的一个法向量为
则
，

， ……………………………………………………………7分

平面ABCD的一个法向量为

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是
； ………………………………… 8分

（III）设
，
，则
，

设MF与平面EFG所成角为
，

则
，

或
，∵M靠近A，∴
…………………………………………………10分

∴当
时， MF与平面EFG所成角正弦值等于
． ………………………12分

方法2：（I）证明：过P作P OAD于O，∵
，

则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，…2分

∵PA=PD
，∴
，

得
，

，

故
，

∵
，

∴EF平面PAD；…………………………………4分

（II）
，

设平面EFG的一个法向量为

则
，
， ………………… 7分

平面ABCD的一个法向量为
…【以下同方法1】

方法3：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
，

∴
平面PAD，……………………………………2分

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；………………………4分

（II）∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱，

………………………………………………………………6分

∵HG // EF，∴
平面PAD， ∴DHHG，EHHG ，

∴EHA是锐二面角的平面角，等于
； …………………………………………8分

（III）过M作MK⊥平面EFG于K，连结KF，

则KFM即为MF与平面EFG所成角， ……………………………………………10分

因为AB//EF，故AB∥平面EFG，故AB上的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，∵
平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH，

∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于
，即MK
，

∴
，
，在直角梯形
中，
，

∴
或
∵M靠近A，∴
…………………………………………11分

∴当
时， MF与平面EFG所成角正弦值等于
． …………………12分

19．（Ⅰ）
.

数列
是等比数列，首项为
，公比为
…………………4分

（Ⅱ）由
,得
由（Ⅰ）得
;

;

……………………9分

（Ⅲ）由
,得
,
;

由（Ⅱ）知 ，
，则数列
是单调递增数列，所以
与
都是递减数列，因此
是单调递减数列.

故当
时，
最大.

即数列
中存在最大项且为该数列中的首项，其值为
. ………………12分

20（Ⅰ）由
：
知
．设
，
在
上，因为
，

所以
，得
，
． ………………………………………………2分

在
上，且椭圆
的半焦距
，于是

消去
并整理得
， 解得
（
不合题意，舍去）．

故椭圆
的方程为
．……………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知

设
，则

求得
，则

设直线为
，代入
得：

………………………………………………………8分

因为
，所以
．

由

求得
，符合
.

故所求直线
的方程为
，或
． ……………………… 13分

方法二：由
知四边形
是平行四边形，其中心为坐标原点，

因为
，所以与
的斜率相同，

故的斜率
．设的方程为
．

由
消去并化简得
．

设
，
，
，
． …………………8分

因为
，所以
．

．

所以
．此时
，

故所求直线的方程为
，或
． ………………… 13分

21．（Ⅰ）当
时，
，令
得
，

根据导数的符号可以得出函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值．

函数
在
上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要

且
即可，即只要
即可．所以的取值范围是
． ………4分

（Ⅱ）当
时，
对任意的
恒成立，

即
对任意的
恒成立，

也即
在对任意的
恒成立．

令
，则
． ………………… 6分

记
，则
，

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点
，

故也是最小值点，所以
，

从而
，所以函数
在
单调递增．

函数
．故只要
即可．

所以
的取值范围是
……………………………………………………9分

（Ⅲ）假设
，即
，即
，

故
，即
．

由于
是方程
的两个根，

故
．代入上式得
．………………12分

，

即
，与
矛盾，

所以直线
与直线
不可能垂直． ……………………………………………………14分