南阳一中2014届高三第九次周考

数学试题（理科）

命题人：苏芳西
审题人：罗东

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150，.考生在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.

第I卷

一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）

1
．已知集合A={x|x2+3x+2≤0}，B={y|y=2x﹣1，x∈R}，则A∩?RB=（　　）

A. φ B. {﹣1} C. [﹣2，﹣1] D. [﹣2，﹣1）

2．若复数
的实部与虚部相等，则实数b等于（　　）

A.3 B.1 C.
D.

3．2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（　　）

A. 20种 B. 24种 C. 30种 D. 36种

4．已知点F是双曲线
（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A. （1，+∞） B. （1，2）

C. （1，1+
） D. （2，1+
）

5.如果执行下面的程序框图，输出的S=240，则判断框中为

A. k≥15? B. k≤16?

C. k≤15? D. k≥16?

6.三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且
、
都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知等差数列
的前
项和为
,且满足
当
取得最大值时，数列
的公差
为（ ）

A. 4 B.
C.
D.

8.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

9.若
的展开式中常数项为
，则直线
轴与曲线
围成的封闭图形的面积为

A．
B．
C．
D．1

10.已知函数①
，②
，则下列结论正确的是( )

A.两个函数的图象均关于点
成中心对称.

B.①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移
个单位即得②.

C.两个函数在区间
上都是单调递增函数.

D.两个函数的最小正周期相同.

11．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式
f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（　　）

A. （3，7） B. （9，25） C. （13，49） D. （9，49）

12.在
中产生
区间上均匀随机数的函数为“
( )”,在用计算机模拟估计函数
的图像、直线

和
轴在区间
上部分围成的图形面积时，随机点
与
该区域内的点
的坐标变换公式为

A.
B.

C.
D.

第II卷

本卷包括必考題和选考題两部分.第13题?第21題为必考题，第22
题?23题为选考題.考生根据要求作答.

二、填空題:（本大题共4小题，每小题5分）

13.如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若
=

+
则
=

14．某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召

务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取

100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组

[25，30)，第3组[30，35），第4组[35，40），

第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所

示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取

了12名志愿者参加l0月16日的“世界粮食日”

宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________。

15．数列
的首项为1，数列
为
等比数列且
，若
，则

16．已知函数
定义在
上，对任意的
，
已知
，则

三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

17．(本小题满分12分)已知数列{
}的前n项和
，数列{
}满足
=
．

(I)求证数列{
}是等差数列，并求数列{
}的通项公式；

(Ⅱ)设
，数列{
}的前n项和为Tn，求满足
的n的最大值。

18．（本小题满分12分）某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



数 学

1.3

12.3

25.7

36.7

50.3

67.7[来源:学_科_网Z_X_X_K]

49.0

52.0

40.0

34.3



物 理

2.3

9.7

31.0

22.3

40.0

58.0

39.0

60.7

63.3

42.7



学生序号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



数 学

78.3

50.0

65.7

66.3

68.0

95.0

90.7

87.7

103.7

86.7



物 理

49.7

46.7

83.3

59.7

50.0

101.3

76.7

86.0

99.7

99.0



学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．

（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；

（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072


2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



K2=
，其中n=a+b+c+d）

19.（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，
是边长为2的正三角形，
平面ABC，平面
平面ABC,BD=CD，且

（I）若AE=2，求证：AC//平面BDE；

（II）若二面角A—DE—B为60°，求AE的长.

20.已知
、
是椭圆

的左、右焦点，且离心率
，点
为椭圆上的一个动点，
的内切圆面积的最大值为
.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若
是椭圆上不重合的四个点，满足向量
与
共线，
与
共线，且
，求
的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数
（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当a＝1时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在
上无零点，求a的最小值；

（Ⅲ）若对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
，使得
成立，求a的取值范围．[来源:学科网]

选做题：

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（Ⅱ）若
，求EC的长．

23．（10分）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤5；

（2）若
的定义域为R，求实数m的取值范围．

南阳一中2014届高三第九次周考

数学试题（理科）答案

18．（本小题满分12分）某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



数 学

1.3

12.3

25.7

36.7

50.3

67.7

49.0

52.0

40.0

34.3



物 理

2.3

9.7

31.0

22.3

40.0

58.0

39.0

60.7

63.3

42.7



学生序号[来源:学科网]

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



数 学

78.3

50.0

65.7

66.3

68.0

95.0

90.7

8
7.7

103.7

86.7



物 理

49.7

46.7

83.3

59.7

50.0

101.3

76.7

86.0

99.7

99.0



学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．

（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；

（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



K2=
，其中n=a+b+c+d）

18、解：（1）根据条件ξ的取值为2，3，4，

而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有

P（ξ=2）=
=
， P（ξ=3）=
=
，

P（ξ=4）=
=
．

所以ξ的分布列为

ξ

2

3

4



P









数学期望Eξ=2×
+3×
+4×
=2.6．（8分）[来源:学*科*网Z*X*X*K]

（2）根据条件列出列联表如下：

物理优秀

物理不优秀

合计



数学优秀

4

2

6



数学不优秀

2

12

14



合计

6

14

20



所以
≈5.4875＞5.024．

又P（K2≥5.024）=0.025，

因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，

可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．（12分）

（Ⅱ）解法一:

过
作

的延长线于
,连接
.

因为
,
,

所以
平面
,
平面

则有
.

所以
平面
,
平面
,

所以
.

所以
为二面角
的平面角，

即
. 分

在
中，
，则
,
.

在
中，
.

设
，则
,所以
，又

在
中,
,即
=

解得
，所以

20 .解 (1)由几何性质可知：当
内切圆面积取最大值时，

即
取最大
值，且
.

由
得

又
为定值，
，

综上得
；

又由
，可得
，即
，

经计算得
，
，
，

故椭圆方程
为
. (5分)

(2) ①当直线
与
中有一条直线垂直于
轴时，
.

②当直线
斜率存在但不为0时，设
的方程为：
，由
消去
可得
，代入弦长公式得：
，

同理由
消去
可得
，

代入弦长公式得：
，

所以

令
，则
，所以
，

由①②可知，
的取值范围是
.

（III）

所以，函数

故
①

此时，当
的变化
情况如下：











—

0

+







最小值







[来源:Zxxk.Com]

即②对任意
恒成立。

由③式解得：
④

综合①④可知，当

在

使
成立。…………12分