2014年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)

高三数学（理科答案）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.

1-5 DDCBB 6-10 DCAAD 11-12 CC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..

13 　200 14
15
16

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． 解：（Ⅰ）

……………3分

所以
的最大值是2……………5分

（Ⅱ）令

Z)，……………7分

则

，……………9分

而直线
是函
的对称轴，所以

Z)………………10分

18. 解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
.

因为
，所以
. ①

因为
成等比数列，所以
. ② ……2分

由①，②可得：
. ……………………………………4分

所以
. ……………………………………6分

（Ⅱ）由题意
，设数列
的前项和为
，
,

，所以数列
为以
为首项，以为公比的等比数列……9分

所以
……………………………………12分

19． 解：（Ⅰ）各组的频率分别是
……………2分

所以图中各组的纵坐标分别是
……………4分

……………5分

（Ⅱ）
的所有可能取值为：0,1,2,3 ……………6分

……………10分

所以
的分布列是：























 ……………11分

所以
的数学期望
…………………12分

20．解法一：（Ⅰ）设
，连接
,

分别是
、
的中点，则
，……………1分

已知
平面
，
平面
，所以平面
平面
，

又
，
为
的中点，则
，

而平面
，所以
平面
，

所以
平面
，

又
平面
，所以
； ……………3分

在
中，
，
；

又
，所以
平面
，

又
平面
，所以

. ……………6分

（Ⅱ）在平面
内过点
作
交
的延长线于
，连接
，
，

因为
平面
,所以
平面
，

平面
平面
,所以
平面
，

平面
，所以

;

在
中，
，
是
中点，故
;

所以
平面
，则

.

所以
是二面角
的平面角……………10分

设
，

而
，

，则
，

所以二面角
的余弦值为
.……………12分

解法二：

因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
，

又
，
是
的中点，则
，且平面
，

所以
平面
……………2分

如图，以O为原点，以
分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

……………4分

，
，所以
……………6分

（Ⅱ）
，
，

设平面
的法向量为
，

则
令
，得
.……………8分

又
，
，

所以平面
的法向量
，……………10分

，

所以二面角
的余弦值为
.……………12分

21.解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆
的方程为
，

因为
，所以
，
，

所以，椭圆
的方程为
…………………4分

（也可用待定系数法
，或用
）

（2）当直线
斜率存在时，设直线
：
，由
得
，

设
，

，
……………6分

所以

，

设内切圆半径为，因为
的周长为
（定值），

，

所以当
的面积最大时，内切圆面积最大，又


，……………8分

令
，则
，所以



……………10分

又当
不存在时，

，此时
，

故当
不存在时圆面积最大，
，此时直线方程为
. …………………12分

（也可以设直线
，避免对
的讨论，参照以上解法，按相应步骤给分）

22.解：（I）
的定义域为
．其导数
．………1分

①当
时，
，函数在
上是增函数；…………2分

②当
时，在区间
上，
；在区间
上，
．

所以
在
是增函数，在
是减函数.……………4分

（II）①由（I）知，当
时，函数
在
上是增函数，不可能有两个零点

当
时，
在
是增函数，在
是减函数，此时
为函数
的最大值，

当
时，
最多有一个零点，所以
，解得
，…6分

此时，
，且
，

令
，则
，所以
在
，
上单调递增，

所以
，即

所以的取值范围是
，
…………………8分

②证法一：

.设
.
.

当
时，
；当
时，
；

所以
在
上是增函数，在
上是减函数.
最大值为
.

由于
，且
，所以
，所以
.

下面证明：当
时，
.设
，

则
.
在
上是增函数，所以当
时，

.即当
时，
..

由
得
.所以
.

所以
，即
，
，
.

又
，所以
，
.

所以
.

即
.

由
，得
.所以
，
. …………………12分

②证法二：

由（II）①可知函数
在
是增函数，在
是减函数.

所以
.故

第二部分:分析:因为
,所以
.只要证明:
就可以得出结论

下面给出证明：构造函数：

则：

所以函数
在区间
上为减函数.
,则