湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学理试题

2014.2.20

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数m(3＋i)－(2＋i)（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．

甲组



乙组





9

0

9







x

2

1

5

y

8



7

4

2

4







已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为

A．2，6 B．2，7 C．3，6 D．3，7

3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为

A．30° B．60° C．120° D．150°

4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为

A．5

B．6

C．7

D．8

6．若(9x－)n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为

A．252 B．－252 C．84 D．－84

7．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“a2＋b2＝1”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为

A． B． C． D．

9．若S1＝dx，S2＝(lnx＋1)dx，S3＝xdx，则S1，S2，S3的大小关系为

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S1＜S2

10．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为

A．＋1

B．2＋2

C．－1

D．2－2

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必考题（11—14题）

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．

12．曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为 ．

13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则

（Ⅰ）f(5)＝ ；

（Ⅱ）f(n)＝ ．

14．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则

（Ⅰ）m＝ ；

（Ⅱ）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F．若AB＝4，BP＝3，则PF＝ ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(cosθ－sinθ)－a＝0与曲线（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（Ⅰ）若a＝3，b＝，求c；

（Ⅱ）求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*．

（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．

（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；

（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

20．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

21．（本小题满分13分）

如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上；

（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；

（Ⅱ）证明：＜ln＜，其中0＜a＜b；

（Ⅲ）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋…＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．

武汉市2014届高三2月调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D

二、填空题

11．＋ 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n2－2n＋1

14．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15． 16．[0，)

三、解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴A－B＝－C，即A－B＋C＝， ①

又A＋B＋C＝π， ②

由②－①，得B＝．

由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，

即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

当c＝2时，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，

∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4．……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．

∴＝＝＝sin(2A－)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜A＜，∴－＜2A－＜，

∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．

故的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．

当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a＝(2－a1)2，解得a1＝1．

当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－（舍去）或a1＝2＋．

综上可得a1＝1或a1＝2＋．……………………………………………………6分

（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2．

当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；

当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．

∵平面ABC⊥平面AA1C1C，

∴AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，

∴＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(4，－3，0)．

设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．

设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则

sinθ＝|cos＜，n＞|＝＝＝．

故直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为．………………………………6分

（Ⅱ）设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ（λ∈[0，1]），

∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，

∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，

∴＝(4λ，3－3λ，4λ)．

又＝(0，3，－4)，

由·＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，

即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．

故在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．

此时＝λ＝．…………………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”．

则A＝A1·A2．

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝．………………………………………………4分

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，

B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，

B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．

∴X的分布列为

X

0

1

2



P









∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．………………………………………………12分

21．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知，得F(，0)，C(，1)．

由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．

又E(0，－1)，G(0，1)，则

直线ER的方程为y＝x－1， ①

直线GR′的方程为y＝－x＋1． ②

由①②，得M(，)．

∵＋()2＝＝＝1，

∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上．…………………………5分

（Ⅱ）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则

直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝，

直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝．

由消去y并化简，得(2k＋1)x2＋4kx＋2k－2＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．

∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k≠1．

∴kOP＋kOQ＝＋＝＋＝2k1＋k1·

＝k1(2－)＝－．

同理可得kOS＋kOT＝－．

∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(＋)＝－2·

＝－．

∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．

由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，

∴k1k2＝1，即·＝1． ③

又y0＝x0＋2， ④

解③④，得x0＝－，y0＝．

故满足条件的点N存在，其坐标为（－，）．………………………………13分

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）若t＜0，令x＝，则f()＝e
－1－1＜0；

若t＝0，f (x)＝ex－1＞0，不合题意；

若t＞0，只需f(x)min≤0．

求导数，得f ′(x)＝ex－1－t．

令f ′(x)＝0，解得x＝lnt＋1．

当x＜lnt＋1时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，lnt＋1)上是减函数；

当x＞lnt＋1时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(lnt＋1，＋∞)上是增函数．

故f(x)在x＝lnt＋1处取得最小值f(lnt＋1)＝t－t(lnt＋1)＝－tlnt．

∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．

综上可知，实数t的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)．…………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)≥f(lnt＋1)，即ex－1－tx≥－tlnt．

取t＝1，ex－1－x≥0，即x≤ex－1．

当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立，

故当x＞0且x≠1时，有lnx＜x－1．

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即ln＜．

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即－ln＜，亦即ln＞．

综上，得＜ln＜．………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），得＜ln＜．

令a＝k，b＝k＋1（k∈N*），得＜ln＜．

对于ln＜，分别取k＝1，2，…，n，

将上述n个不等式依次相加，得

ln＋ln＋…＋ln＜1＋＋…＋，

∴ln(1＋n)＜1＋＋…＋． ①

对于＜ln，分别取k＝1，2，…，n－1，

将上述n－1个不等式依次相加，得

＋＋…＋＜ln＋ln＋…＋ln，即＋＋…＋＜lnn（n≥2），

∴1＋＋…＋≤1＋lnn（n∈N*）． ②

综合①②，得ln(1＋n)＜1＋＋…＋≤1＋lnn．

易知，当p＜q时，[p]≤[q]，

∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋…＋