湖北省武汉市2014届高三2月调研测试

数 学（文科）

2014.2.20

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数为

A．3 B．4 C．7 D．8

2．设a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数f(x)＝ln(x2＋2)的图象大致是

4．某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是

A．45

B．50

C．55

D．60

5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，

则输出s的值是

A．4

B．7

C．11

D．16

6．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集

是空集，则实数a的取值范围是

A．(－∞，1] B．(－∞，1)

C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)

7．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为

A．30° B．60° C．120° D．150°

8．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝B1F．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为

A． B． C． D．

10．抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：－y2＝1的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．下图是某公司10个销售店某月销售某品牌

电 脑数量（单位：台）的茎叶图，则数

据落在区间[19，30)内的频率为 ．

12．若复数z＝(m2－7m＋15)＋(m2－5m＋3)i（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y＝－x上，则m＝ ．

13．已知某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的表面积为 ．

14．若点(x，y)位于曲线y＝|x－2|与y＝1所围成的封闭区域内，

则2x＋y的最小值为 ．

15．如下图①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小圆圈个数为f(n)，则

（Ⅰ）f(5)＝ ；

（Ⅱ）f(2014)的个位数字为 ．

16．过点P(－10，0)引直线l与曲线y＝－相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ．

17．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则

（Ⅰ）m＝ ；

（Ⅱ）当f(x)在[a，b]上至少含有20个零点时，b－a的最小值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若a＝3，b＝，求c．

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足0＜a1＜2，an＋1＝2－|an|，n∈N*．

（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝1，AD＝2，求三棱锥E-BCD的体积．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝ex－1－x．

（Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）设g(x)＝ax2，a∈R．

（ⅰ）证明：当a＝时，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有唯一的公共点；

（ⅱ）若当x＞0时，y＝f(x)的图象恒在y＝g(x)的图象的上方，求实数a的取值范围．

22．（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上；

（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

武汉市2014届高三2月调研测试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．D 2．A 3．D 4．B 5．C

6．A 7．C 8．B 9．D 10．D

二、填空题

11．0.6 12．3 13．33π 14．3 15．（Ⅰ）21；（Ⅱ）3

16．－ 17．（Ⅰ）0；（Ⅱ）

三、解答题

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴A－B＝－C，即A－B＋C＝， ①

又A＋B＋C＝π， ②

由②－①，得B＝．………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得

()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，

即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

当c＝2时，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，

∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4．…………………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵0＜a1＜2，

∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|＝2－(2－a1)＝a1．

∵a1，a2，a3成等比数列，

∴a＝a1a3，即(2－a1)2＝a，

解得a1＝1．…………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝2a1，

解得a1＝1．

从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

因此，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．……………………………12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD．

∵PC⊥平面BDE，

∴PC⊥BD．

又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．………………………………………………6分

（Ⅱ）如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．

由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，

由题设条件知，四边形ABCD为正方形．

由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝．

在Rt△PAC中，PC＝＝＝3．

易知Rt△PAC∽Rt△OEC，

∴＝＝，即＝＝，∴OE＝，CE＝．

∴VE-BCD＝S△CEO·BD＝·OE·CE·BD＝···2＝．………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x)＝ex－1．

令f ′(x)＝0，解得x＝0．

当x＜0时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；

当x＞0时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0．……………………………………………4分

（Ⅱ）设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－ax2，则h′(x)＝ex－1－2ax．

（ⅰ）当a＝时，y＝ex－1－x的图象与y＝ax2的图象公共点的个数等于

h(x)＝ex－1－x－x2零点的个数．

∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零点x＝0．

由（Ⅰ），知ex≥1＋x，∴h′(x)＝ex－1－x≥0，

∴h(x)在R上是增函数，∴h(x)在R上有唯一的零点．

故当a＝时，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有唯一的公共点．………9分

（ⅱ）当x＞0时，y＝f(x)的图象恒在y＝g(x)的图象的上方

?当x＞0时，f(x)＞g(x)，即h(x)＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．

由（Ⅰ），知ex≥1＋x（当且仅当x＝0时等号成立），

故当x＞0时，ex＞1＋x．

h′(x)＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，

从而当1－2a≥0，即a≤时，h′(x)≥0（x＞0），

∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(0)＝0，

于是当x＞0时，h(x)＞0．

由ex＞1＋x（x≠0），可得e－x＞1－x（x≠0），

从而当a＞时，h′(x)＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，

故当x∈(0，ln2a)时，h′(x)＜0，

此时h(x)在(0，ln2a)上是减函数，又h(0)＝0，

于是当x∈(0，ln2a)时，h(x)＜0．

综上可知，实数a的取值范围为(－∞，]．……………………………14分

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知，得F(，0)，C(，1)．

由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．

又E(0，－1)，G(0，1)，则

直线ER的方程为y＝x－1， ①

直线GR′的方程为y＝－x＋1． ②

由①②，得M(，)．

∵＋()2＝＝＝1，

∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上．…………………………6分

（Ⅱ）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则

直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝，

直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝．

由消去y并化简，得(2k＋1)x2＋4kx＋2k－2＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．

∵OP，OQ的斜率存在，

∴x1≠0，x2≠0，∴k≠1．

∴kOP＋kOQ＝＋＝＋＝2k1＋k1·

＝k1(2－)＝－．

同理可得kOS＋kOT＝－．

∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(＋)＝－2·

＝－．

∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．

由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，

∴k1k2＝1，即·＝1． ③

又y0＝x0＋2， ④

解③④，得x0＝－，y0＝．

故满足条件的点N存在，其坐标为（－，）．………………………………14