2013-2014学年宁波重点中学高三期中考数学试题

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
则B中所含元素的个数为（ ▲ ）

A、3 B、6 C、8 D、10

2.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），试求第七个三角形数是（ ▲ ） ( )

A．27 B．28 C．29 D．30

3．函数
的大致图像为（ ▲ ）

4.设数列
的通项公式
，那么
等于（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

5.在
中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且
=（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．2

6.函数
的最大值与最小值之和为（ ▲ ）

A、
　　 B、0　　 C、－1　　　 D、

7.若函数
为奇函数,则a=（ ▲ ）

A、
B、
C、
D、 1

8．已知复数
，则
（ ▲）

A． 2 B． －2 C． 2i D． －2i

9.等差数列
中,若
,则
的值为（ ▲ ）

A．180 B．240 C．360 D．720

10.对实数
，定义运算“
”：
设函
.若函数
的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.[-2，-1]

第II卷（选择题 共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共24分

11. 已知
，
，
，则x、y、z三者比较为 ▲

12. 从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ▲ 。

13．若不等式组
所表示的平面区域被直线
分成面积相等的两部分，则k的值为 ▲ 。

14. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是 ▲ 。

15．已知
，
，
，则
与
夹角的度数为 ▲ .

16. 设a,b∈R，若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于 ▲

17.若a、b、c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则丨a+b-c丨=的最大值为 ▲

三、解答题

18.(本小题14分) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；

(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．

19.(本小题14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin2－cos 2A＝．

(1)求角A的度数；

(2)若a＝，b＋c＝3(b>c)，求b和c的值．

20. (本小题14分)已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式：

(Ⅱ）等比数列
满足：
，若数列
，求数列
的前n项和
.

21. (本小题15分)已知数列
是等差数列,
，数列
的前n项和是
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）求证：数列
是等比数列；（3）记
，求证：
.

22. (本小题15分)已知实数满足
，函数
．

　（1）当
时，求
的极小值；

　（2）若
的极小值点与
的极小值点相同，证明：
的极大值大于等于7．

【参考答案】

一、单项选择题

1、D 2、B 3、D 4、D 5、C 6、A 7、B 8、B 9、C 10、B

二、填空题

11、
12、3 13、
14、3 15、
16、—1 17、1

三、解答题

18. 【答案】(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝．因为0

(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2，

故△ABC是直角三角形，且B＝．所以sinC＝cosA＝．

19. 【答案】(1)由2sin2－cos 2A＝及A＋B＋C＝180°，

得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，4(1＋cos A)－4cos2A＝5.

∴4cos2A－4cos A＋1＝0.∴cos A＝．∵0°

(2)由余弦定理，得cos A＝．∵cos A＝．∴＝．∴(b＋c)2－a2＝3bc.

将a＝，b＋c＝3代入上式得bc＝2.由及b>c，得

20. 【答案】 (Ⅰ)设等差数列
的公差为d，则依题设d>0

由
.得
① 由
得
②

由①得
将其代入②得
。即

∴
,又
,代入①得
, ∴
.

(Ⅱ）
∴
,

，

错位相减可得：

整理得：

∴

21. 【答案】（1）由已知
解得

(2）由于
， ①

令=1，得
解得
，当
时，
②

② －②得
，

又
,
∴数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.

(3）由（2）可得

，故

22. 解：（1）
………………....................2分

当
时，

列表如下：

x

(－，－1)

－1

(－1，2)

2

(2，＋)



f ′(x)

＋

0

－

0

＋



 f (x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



所以，
的极小值为

（2）∵
，∴
，又
，

∴
，从而
的极小值点也是

又

故
的极大值