一 选择题(每小题5分，共60分)

1．设复数
且
则实数等于（ ）

A．
B．
C． －
D．－

2.已知
分别是两条不重合的直线，
分别垂直于两不重合平面
，有以下四个命题：①若
，且
，则
；②若
，且
，则
； ③若
且
，则
；④若
且
，则
．其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

3. 为得到函数
的图象，只需将函数
的图象（　　）

A．向左平移
个长度单位 B. 向右平移
个长度单位

C. 向左平移
个长度单位 D. 向右平移
个长度单位

4．在
中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足
,则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

5．在△ABC中，tanA是第3项为－4，第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为，第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是(　　)

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

6. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（　　）

A．
B．
和

C．
　　　　　 D．

7.已知函数
，如果
，则实数的取值范围是（　）

A.
B.
C.
D.

8．已知与函数
图像关于
对称的函数的图象恒过定点，且点在直线
上，若
则
的最小值为（ ）

Ａ.
Ｂ. Ｃ. Ｄ.

9．已知
满足
，若
的最大值为
，最小值为
，

则a的范围为（ ）

A.
B.
C.
D.
或

10．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
(的单

位:, 的单位:
)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是（　　）

A．
B．
C．
D．

11. 三棱锥
的四个顶点都在体积为
的球的表面上，底面ABC所在的小圆的面积为
，则该三棱锥的高的最大值为（ ）

A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9

12. 函数
和函数
，若存在
使得
成立，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二 填空题(每小题5分，共20分).

13. 如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是____________.

14，已知A(－2, 3), B(3, 2)，过点P(0, －2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________.

15.在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：

如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是(ABC的垂心；

如果点P到(ABC的三个顶点的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是(ABC的内心；

如果棱PA和BC所成的角为60(,PA=BC=2,E、F分别是棱PB、AC的中点,那么EF=1;

如果三棱锥P-ABC的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的正投影（投影线垂直投影面）的面积都不大于;

其中正确命题的序号是____________.

16．在
中，
，
是
内切圆圆心，设是⊙外的三角形
区域内的动点，若
，则点
所在区域的面积为________．

三、解答题(共70分).

17．(本小题满分10分)

已知等差数列
,
为其前项的和，
,
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项的和．

18.（本小题满分12分）

已知函数

的最小正周期是.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间和对称中心；

（Ⅱ）若为锐角
的内角，求
的取值范围.

19.（本小题满分 12 分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式
，其中
，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

20.（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
.

(Ⅰ)求的值及
的面积
；

（Ⅱ）求
的值.

21.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，

(Ⅰ)求证：平面
⊥平面

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值；

(Ⅲ)若动点
在底面三角形
上，二面角
的大小为
，求
的最小值.

22．（本小题满分12分）

已知函数
．

(I)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)函数
在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；

(Ⅲ)若任意的
∈(1，2)且
≠
，证明：
(注：

高三第四次月考数学试题答案

17．解：（1）依题意
………2分解得

.……5分

（2）由（Ⅰ）可知
，
，所以数列
是首项为
，公比为9的等比数列，…7分

数列
的前项的和
.………………10分

18. 解：（1）

， ………2分

，
，
, ………4分

,

函数
的单调增区间为
，
………6分

………8分

（2）所以
的取值范围为
………12分

19.解：(Ⅰ)因为
时
，所以
；……………2分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量
，所以商场每日销售该商品所获得的利润：

，……………4分

， ……………7分

令
得
，或
（舍去），函数
在
上递增，在
上递减，所以当
时，函数
取得最大值
.………11分

答：当销售价格
时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为

，
. …12分

21．解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面
⊥平面
.

……4分

（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,
), ……5分

∴

设平面PBC的法向量
，由
得方程组：

，取
……6分

∴
.

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
. ……8分

（3）由题意平面PAC的法向量
， 设平面PAM的法向量为

∵
又因为
.

∴
取
.

，
，此时
……12分

22.解：

.（Ⅰ）

. ……………2分

，
， 在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
. …………4分

（Ⅱ）先求
在
的最大值.由（Ⅰ）可知，

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
.………………6分

由
可知
，
，
，

所以，
，
， 故不存在符合条件的，使得
. ………………8分

设
，

在
上是增函数，

综上述命题成立. ………………12分

另解:当
时，
，

在
上单调递减，在
上单调递增，

，
，

，
，
.………10分

由导数的几何意义有对任意
，

．…………12分