冀州中学高三年级第三次月考数学试题（理科）

本试卷满分150分，考试时间为120分钟

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.

1．已知集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2. 对于任意的直线l与平面a, 在平面a内必有直线m,使m与l （ ）

A．平行　　　B.相交 C．垂直 D.互为异面直线

3.下列命题（1）函数
的值域是
；（2）函数

最小值是2；（3）若
同号且
，则
。其中正确的命题是(　　)

A.(1)(2)(3) B. (1)(2) C. (2)(3) D. (1) (3)

4．某正三棱柱的三视图如右图所示，其中正视图是边长为2

的正方形，则该正三棱柱的表面积为（ ）

A、
B、
C、
D、

5．已知二面角
的大小为
，异面直线m，n分别与
垂直，则m，n所成的角为（ ）

6．设数列
的前n项和为
，若
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

7．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．将函数
的图像平移后所得的图像对应的函数为
，则进行的平移是（ ）

A、向右平移
个单位 B、向左平移
个单位

C、向右平移
个单位 D、向左平移
个单位

9. 以
表示等差数列{
}的前n项和，若
＞
，则下列不等关系不一定成立的是(　　)

A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1＋6a6 C．a5＋a4－a3＜0 D．a3＋a6＋a12＜2a7

10.设
满足不等式组
，则
的最小值为（）

A、1 B、5 C、
D、

11. 执行右图的程序框图，若输出的
，

则输入整数的最大值是（ ）

A．15 B．14 C．7 D．6

12. 已知
是
的重心，点是
内一点，若
，则
的取值范围是( )

A、
B、
C、
D、

13．若直线
通过点
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

14．设函数f（x）满足f（x）= f（4–x），当x>2时，f（x）为增函数，则a = f（1.10.9）、b = f（0.91.1）、c = f（log
）的大小关系是（ ）

A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a

15. 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且
，若侧棱SA=
，则正三棱锥 S-ABC外接球的表面积为（ ）

A．12 B．32 C．36 D．48

二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上。

16．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则a4+ a5+ a6 = .

17. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则
=______

18. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是___

19.已知直线l⊥平面α，直线m(平面β，则下列四个命题：

①若α∥β,则l⊥m； ②若α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β； ④若l⊥m,则α∥β.

其中正确命题的序号是 ．（所有正确的序号都填上）

20. OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点到这三条直线的距离分别为3，4，5，则
长为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

21.（本小题满分12分）已知

(1)求
的最大值及取得最大值时的取值的集合;

(2)在△ABC中，
分别是角A，B，C所对的边，若
，且对
的定义域内的每一个，都有
恒成立，求
的最大值.

22．（本小题满分12分）

已知等差数列{
}的公差大于0，且a3，a5是方程
－14x＋45＝0的两根，数列{
}的前n项和为
，且
＝
（n∈N﹡）．

（Ⅰ）求数列{
}，{
}的通项公式；

（Ⅱ）记
＝
·
，比较
与
的大小；

（Ⅲ）记
＝
·
求数列{
}的前n项和
．

23. (本小题满分12分)

已知四棱锥
的底面是直角梯形,
,

,
,是
的中点

（1）证明：
；

（2）求二面角
的大小.

24.（本小题满分12分）

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．

（1）求W关于α的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角α．

25.（本小题满分12分）

已知函数
是奇函数，
的定义域为
．当
时，

．这里，e为自然对数的底数．

(1)若函数
在区间
上存在极值点，求实数的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

(3)试判断
与
的大小关系，这里
,并加以证明．

选做题（26、27任选一题作答，写清题号）

26.【坐标系与参数方程】（本小题满分10分）设直线
的参数方程为
(t为参数），若以直角坐标系
的
点为极点，
轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程为ρ=
．

(1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

(2）若直线
与曲线
交于A、B两点，求
.

27. 【不等式选讲】（本小题满分10分）设函数
。

（1）若
解不等式
；

（2）如果
,
,求的取值范围。

第三次月考数学试题答案（理科）

CCDBC DABDD ACDDC 16.16;17.
18.604 19. ①③。 20、5

21解：（Ⅰ）
………………2分

……4分

（Ⅱ）因为
对定义域内任一x有

……6分

…….8分

∴
=

…..10分

最大为
……….12分

方法二 同上得到
,则
=

∵
，

最大为

23. (本小题满分12分)

证明：取
的中点为
连接

------------2分

又

---------4分

………………………………6分

（2）建系：以DA，DB，DP分别为x轴、y轴、z轴，

则
----

---------------------- -------10分

令 x=1,则

又因为

所以二面角
为
------------------12分

另有其他正确解法同样给分。

24解：（1）过E作
，垂足为M，由题意得∠MEF=α，

故有
，
，
，……………….3分

所以

=80+-60tanα……..………6分

（2）W

．

设
，

则
． ……….8分

令
得
，即
，得
．

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
…………10分

此时有
． …………… 12分

25. 解：x>0时，
………2分

（1）当x>0时，有

；

所以
在（0，1）上单调递增，在
上单调递减，函数
在
处取得唯一的极值．由题意
，且
，解得所求实数的取值范围为
…4分

（2）当
时，

令
，由题意，
在
上恒成立

令
，则
，当且仅当
时取等号．

所以
在
上单调递增，
．……6分

因此，

在
上单调递增，
．

所以
．所求实数的取值范围为
…………………8分

（3）(方法一)由（2），当
时，即
，即
．

从而
．………..10分

令
，得

，

……

将以上不等式两端分别相加，得

………………………12分

（方法二）
时，
<

猜想

对一切
成立。

欲证

对一切
成立，

只需证明

而
，

而

>0,
0

所以
>
,

所以

成立,所以猜想正确.

26.（1）由ρ=
得ρ

∴

∴ 曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线………5分

(2）
化为
代入
得

………10分.

27.解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.

由f(x)≥3得

︱x－1︳+︱x+1|≥3

（ⅰ）x≤－1时，不等式化为

1－x－1－x≥3 即－2x≥3

解法2：利用绝对值的几何意义，求得f（x）的最小值为|a-1|，其余同上。