南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试

数学

一、填空题

1.已知集合
，集合
，则
.

2.若复数
（
为虚数单位）为纯虚数，则实数
.

3.现从甲、乙、丙
人中随机选派
人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .

4.根据如图所示的伪代码，最后输出的
的值为 .

5.若一组样本数据
，
，
，
，
的平均数为
，则该组数据的方差
.

6.在平面直角坐标系
中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为
，且它的一个顶点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .

7.在平面直角坐标系
中，若点
到直线
的距离为
，且点
在不等式
表示的平面区域内，则
.

8.在四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
，侧棱
底面
，
，
为
的中点，则四面体
的体积为 .

9.设函数
，则“
为奇函数”是“
”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

10.在平面直角坐标系
中，若圆
上存在
，
两点关于点
成中心对称，则直线
的方程为 .

11.在
中，
，
，则
的最小值为 .

12.若函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上是单调增函数.如果实数
满足
时，那么
的取值范围是 .

13.若关于
的不等式
对任意的正实数
恒成立，则实数
的取值范围是 .

14.已知等比数列
的首项为
，公比为
，其前
项和为
，若
对
恒成立，则
的最小值为 .

二、解答题

15.在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，已知
，
.

（1）若
的面积等于
，求
，
；

（2）若
，求
的面积.

16.如图，在正三棱锥
中，
，
分别为
，
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
平面
.

17.如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.

（1）求
的取值范围；（运算中
取
）

（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元
，其余区域的造价为
元
，当
取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

18.在平面直角坐标系
中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
，
两点，点
关于坐标原点的对称点为
，直线
，
分别交椭圆
的右准线
于
，
两点.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若点
的坐标为
，试求直线
的方程；

（3）记
，
两点的纵坐标分别为
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

19.已知函数
，
.

（1）若
，则
，
满足什么条件时，曲线
与
在
处总有相同的切线？

（2）当
时，求函数
的单调减区间；

（3）当
时，若
对任意的
恒成立，求
的取值的集合.

20.设等差数列
的前
项和为
，已知
，
.

（1）求
；

（2）若从
中抽取一个公比为
的等比数列
，其中
，且
，
.

①当
取最小值时，求
的通项公式；

②若关于
的不等式
有解，试求
的值.

数学附加题

21.（选做题）（在A、B、C、D四小题中只能选做2题）

A．如图，
，
是半径为
的圆
的两条弦，它们相交于
的中点
，若
，
，求
的长.

B．已知曲线
：
，若矩阵
对应的变换将曲线
变为曲线
，求曲线
的方程.

C．在极坐标系中，圆
的方程为
，以极点为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数），若直线
与圆
相切，求实数
的值.

D．已知
，
，
为正实数，若
，求证：
.

（必做题）

22.已知点
在抛物线
：
上.

（1）若
的三个顶点都在抛物线
上，记三边
，
，
所在直线的斜率分别为
，
，
，求
的值；

（2）若四边形
的四个顶点都在抛物线
上，记四边
，
，
，
所在直线的斜率分别为
，
，
，
，求
的值.

23.设
是给定的正整数，有序数组（
）中
或

.

（1）求满足“对任意的
，
，都有
”的有序数组（
）的个数
；

（2）若对任意的
，
，
，都有
成立，求满足“存在
，使得
”的有序数组（
）的个数