宝安中学2014届上学期期末测试

高三数学（理）

满分150分，考试时间为120分钟

一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知
为虚数单位，则虚数
的虚部是

（A）
（B）
（C）－
（D）

2.已知
为实数，且
. 则“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件

（C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

3.已知
是等差数列,若
,则数列
的公差等于

（A）-2 （B）1 （C）2 （D）3

4．执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

5．有以下四种变换方式：

①向左平行移动
个单位长度，再将每个点的横 坐标缩短为原来的
；

②向右平行移动
个单位长度，再将每个点的横 坐标缩短为原来的
；

③每个点的横坐标缩短为原来的
，再向右平行移动
个单位长度；

④每个点的横坐标缩短为原来的
，再向左平行移动
个单位长度．

其中能将函数
的图象变为函数
的图象是（ ）

（A）①和④ （B）①和③ （C）②和④ （D）②和③

6.已知直线
上存在点
满足约束条件
， 则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

7.如图，
与
都是正三角形，且
,
,若
，则

（A）3 （B）-3 （C）
（D）

8.设
是定义在R上的偶函数,且当
时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,则实数
的最大值是.

(A)
(B)
(C)
(D) 2

二.填空题：9-13小题为必做题，14-15两题为选做题，每小题5分，共30分.

9. 在
中,
，则
的取值范围是________.

10．在
的展开式中，常数项为__ ___．(用数字作答)

11．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间

几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是

12. 已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为

13.设
分别表示不大于
的最大整数，如
.则集合
表示的平面区域的面积为 .

选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线
与曲线
:
的异于极点的交点为
,与曲线
:
的异于极点的交点为
,则
______.

15. (几何证明选讲选做题)如图，
中，
，圆O经过B、C且与AB、AC分别相交于D、E.若AE=EC=
，则圆O的半径r=________.

?三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

16. （12分）已知函数
，.

（Ⅰ）设
是函数
图象的一条对称轴，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的值域.

17.（12分）学校团委组织部分同学用“10分制”随机调查“灵芝”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

18.（14分）如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,

AD丄CD,AB//CD,AB=AD=
CD=2,点M在线段EC上。

(I)当点M为EC中点时，求证:BM//平面 ADEF；

(II)求证:平面BDE丄平面BEC；

(III)若平面BDM与平面ABF所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为
时，求三棱锥M-BDE的体积.

19．（本小题满分14分）

已知数列{
}的前
项和
＝
－
（
为正整数）．

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）令
＝
＋
＋…＋
，求数列{
}的前
项和
．

（3）记
. 证明：

20.（14分）已知中心在原点的椭圆
经过点
,且
是它的一个焦点.抛物线
的顶点在原点，焦点为
,过点
作直线交抛物线
于M,N两点，
在M,N两点处的切线分别是
，且
.

(1).求椭圆
的方程及它的准线方程

（2）探究点
能否在椭圆
上，若能，求出它的坐标，若不能说明理由。

（3）利用定积分的知识求椭圆
的面积

21．（14分）已知函数

（1）当
时，求函数
的极小值；

（2）当
时，过坐标原点O作曲线
的切线，设切点为
，求实数m的值；

（3）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，

若
在D内恒成立，则称P为函数
的“转点”。当
时，试问函数
是否存在“转点”，若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由。

宝安中学2014届上学期期末高三数学（理）试题

参考答案

一.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

C

D

A

D

B

C





二. 9.
10．135 11．
12.
. 13. 5. 14.
. 15.
.

三. 16解：（Ⅰ）由题知
，因为
是函数
图象的一条对称轴，所以
，即
， ……………3分

故
，当
为偶数时，
，

当
为奇数时，
； …………6分

（Ⅱ）由题知

所以
的值域为
. …………12分

17.（12分）解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ………3分

（Ⅱ）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，

则
； ………………7分（Ⅲ）
的可能取值为0，1，2，3.

；
；
；
.

的分布列为：

0

1

2

3



P











所以
. ……………12分

另解：
的可能取值为0，1，2，3.则
，
. 所以
．

18.（14分）解：（1）证明 取
中点
，连结
．在△
中，
分别为
的中点，则
∥
，且
．由已知
∥
，
，

因此，
∥
，且
．所以，四边形
为平行四边形．

于是，
∥
．又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
．

（2）证明 在正方形
中，
．又平面

平面
，平面
平面
，知
平面
．所以
．

在直角梯形
中，
，
，算得
．

在△
中，
，可得
．故
平面
．

又因为
平面
，所以，平面
平面
．

（3）按如图建立空间直角坐标系，点
与坐标原点
重合.设
，则
，又
，设
，则
，即
. 设
是平面
的法向量，则

,
.

取
，得
，即得平面
的一个法向量为
.

由题可知，
是平面
的一个法向量.

因此，
，

即点
为
中点.此时，
，
为三棱锥
的高，

所以，

.

19．

(3) 只需证明数列
为递增数列，

20.（14分）解：（1）由题意知，椭圆
是焦点在y轴上标准方程的椭圆，

椭圆的方程为
，准线方程为

（2）抛物线
的方程为
，设

即

同理：

,

即P点在直线
上

即
,

直线
与椭圆
没有公共点，所以点
不能在椭圆
上。

（3）椭圆在第一象限部分的面积

等于圆心在原点半径为
的圆在第一象限部分的面积，

所以椭圆的面积为

21．（14分）(1)解：当
时，
，当
时，
当
时，
，当
时，

所以当
时，
取到极小值－2．

(2)解：
所以切线的斜率

整理得
显然
是这个方程的解,

又因为
在
上是增函数，所以方程
有唯一实数解，故
．

(3)解：当
时，
，

函数
在其图象上一点
处的切线方程为

设
，则

若
，
在(x0，
)上单调递减

所以当
时，
，此时

若
，
在(
，x0)上单调递减

所以当
时，
，此时

所以
在
上不存在“转点”

若
，
，∴即
在
上是增函数,

当
时，
，当
时，

即点
为“转点”，

故函数
存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．