佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）

数学理试题

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．

　　2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

参考公式：① 柱体的体积公式
，其中
为柱体的底面积，
为柱体的高．

② 锥体的体积公式
，其中
为柱体的底面积，
为锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数
的定义域为
,
,则

A．
B．
C．
D．

2．设
为虚数单位,若复数
是纯虚数,则实数

A．
B．
或
C．
或
D．

3．设函数
的最小正周期为
,最大值为
,则

A．
,
B.
,
C．
,
D．
,

4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图
所示,其中俯视图是

中心角为
的扇形,则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

5．给定命题
:若
，则
；

命题
:已知非零向量
则 “
”是“
”的充要条件.

则下列各命题中,假命题的是

A．
B．

C．
D．

6．已知函数
.若
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7．执行如图
所示的程序框图,若输入
的值为
,则输出的
的值为

A．
B．
C．
D．

8．将
个正整数
、
、
、…、
（
）任意排成
行
列的数

表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数
、
（
）的

比值
,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当
时, 数表

的所有可能的“特征值”最大值为

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．

(一)必做题(9～13题)

9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为
的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为
,则总体中的个体数为 .

10. 不等式
的解集为_________.

11．若
的值为_______.

12．设
是双曲线
的两个焦点，
是双曲线与椭圆
的一个公共点，则
的面积等于_________.

13．如果实数
满足
,若直线
将可行域分成面积相等的两部分，则实数
的值为______.

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线
与
的交点分别为
、
,则
.

15.(几何证明选讲) 如图，从圆
外一点
引圆的切线
和割线
，

已知
，
，圆
的半径为
，则圆心

到
的距离为　　 　．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本题满分12分)

在
中,角
、
、
的对边分别为
、
、
,且
,
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 设函数
,求
的值.

17.(本题满分12分)

佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有
名同学,现测得排球队
人的身高(单位:
)分别是:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
,篮球队
人的身高(单位:
)分别是:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
.

(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图
所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；

(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过

的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过

的人数为
,求
的分布列和数学期望.

18.(本题满分14分)

如图
,矩形
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图
所示),连结
、
、
,其中
.

(Ⅰ)求证:
平面
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.

19.(本题满分14分)

如图
所示,已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,且
到直线
的距离等于椭圆的短轴长.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 若圆
的圆心为
(
),且经过
、
,
是椭圆
上的动点且在圆
外,过
作圆
的切线,切点为
,当
的最大值为
时,求
的值.

20.(本题满分14分)

数列
、
的每一项都是正数,
,
,且
、
、
成等差数列,
、
、
成等比数列,
.

（Ⅰ）求
、
的值；

（Ⅱ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅲ）证明:对一切正整数
,有
.

21.(本题满分14分)

已知函数
.

（Ⅰ）若
,求
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的极值点；

（Ⅲ）若
恒成立，求
的取值范围.

2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

B

D

D

C

B

D



二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本题满分12分)

【解析】(Ⅰ) 因为
，所以
，……………………………………………………………………2分

又
，

所以
，……………………………………………………………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，………………………………………………………………7分

所以

………………………………………………10分

. …………………………………………………………12分

17.(本题满分12分)

【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分

(Ⅱ)排球队中超过

的有
人,超过

的有
人,

篮球队中超过

的有
人,超过

的有
人,

所以
的所有可能取值为
则……………………6分

,

,

,………………………………………………………………………………10分

所以
的分布列为



















 所以
的数学期望
.……………………………………………12分

18.(本题满分14分)

【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,
,
,

在
中,
,所以
………………………………………2分

在图