江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考

高三数学试卷 2013.12

一、填空题：

1. 已知集合
，
，则
▲ ．

2．已知命题
“若
，则
”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ▲ ．

3.设是纯虚数，是实数，且
等于 ▲ ．

4. 已知
，则
的值为 ▲ ．

5. 在等差数列
中，若
，则该数列的前15项的和为 ▲ ．

6. 已知直线
⊥平面，直线m平面
，有下面四个命题：

①∥


⊥m；②⊥


∥m；③
∥m
⊥
；④
⊥m
∥

其中正确命题序号是 ▲ ．

7. 已知
，
，
与
的夹角为
，
，则
与
的夹角为▲ ．

8. 设
均为正实数，且
，则
的最小值为 ▲ ．

9.已知方程
+
－
=0有两个不等实根和
，那么过点
的直线与圆
的位置关系是 ▲ ．

10．若动直线
与函数
的图象分别交于
两点，则
的最大值为 ▲ ．

11. 设
，
，且
，则
▲ ．

12. 函数
在区间
上是减函数,则
的最大值为 ▲ ．

13．已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为
，则原点O到其左准线的距离为 ▲ ．

14. 设

，
的所有非空子集中的最小元素的和为
，则
= ▲ ．

二、解答题：

15．(本小题满分14分)

设向量


，函数
.

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）求使不等式
成立的的取值集合．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
，
垂直于底面
，
分别为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求点到平面
的距离．

17．(本小题满分14分)

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入
万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

18．(本小题满分16分)

已知函数
，设曲线
在点
处的切线与轴的交点为
，其中
为正实数.（1）用
表示
；（2）
,若
，试证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；（3）若数列
的前项和
，记数列
的前项和
，求
．.

19. (本小题满分16分)

如图所示，已知圆
为圆上一动点，点是线段
的垂直平分线与直线
的交点．

（1）求点的轨迹曲线的方程；

（2）设点
是曲线上任意一点，写出曲线在点
处的切线
的方程；（不要求证明）

（3）直线过切点
与直线
垂直，点
关于直线的对称点为，证明：直线
恒过一定点，并求定点的坐标．

20. (本小题满分16分)

设
，两个函数
，
的图像关于直线
对称.

（1）求实数
满足的关系式；

（2）当取何值时，函数
有且只有一个零点；

（3）当
时，在
上解不等式
．

数学(附加题)

21．

B．(本小题满分10分)

已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
, 求矩阵M．.

C．(本小题满分10分)

在直角坐标系中，参数方程为
的直线
，被以原点为极点，

轴的正半轴为极轴，极坐标方程为
的曲线
所截，求截得的弦长．

22． (本小题满分10分)

设函数
,
．

（1）求
的展开式中系数最大的项；

（2）若
（为虚数单位）,求
．

23． (本小题满分10分)

电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体
顶点起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．

（1）求跳三步跳到
的概率；

（2）青蛙跳五步，用
表示跳到过
的次数，求随机变量
的概率分布及数学期望
．

2013.12

一、填空题

1.
　2．2　　3.
　　4.
　　5.15　　 6. ①③ 7.
　　8.16　　

9. 相切 10．2 11.
12.
13．
14.

二、解答题

15．解：(1)

. …………5′

由
，得

，

∴
的单调递增区间为

. …………8′

(2) 由
，得
.

由
，得
，则
，

即

. ∴使不等式
成立的的取值集合为
.……14′

16．解：（1）因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A从而PB⊥平面ADMN,因为
平面ADMN，所以PB⊥DM.　　　　　　…………7′

(2) 连接AC，过B作BH⊥AC，因为
⊥底面
， 所以平面PAB⊥底面
，所以BH是点B到平面PAC的距离.

在直角三角形ABC中，BH＝
……………14′

17．解：（1）设每件定价为元，依题意，有
，

整理得
，解得
．

∴　要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′

（2）依题意，
时，

不等式
有解, 等价于
时，
有解,
,

.

∴当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′

18．解：（1）由题可得
，所以在曲线上点
处的切线方程为
，即

令
，得
，即

由题意得
，所以
………………5′

（2）因为
，所以

即
，

所以数列
为等比数列故
………10′

（3）当
时，
，当
时，

所以数列
的通项公式为
，故数列
的通项公式为

①

①
的
②

①②得

故
………………16′

19.解：（1）点是线段
的垂直平分线,∴

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

椭圆长轴长为
焦距2c=2.

∴曲线E的方程为
　　………5′

（2）曲线在点
处的切线
的方程是
.………8′

（3）直线的方程为
，即
.

设点
关于直线的对称点的坐标为
,

则
，解得

直线PD的斜率为

从而直线PD的方程为：

即
, 从而直线PD恒过定点
.………16′

20.解：（1）设
是函数
图像上任一点，则它关于直线
对称的点
在函数
的图像上，
，
.

（2）当
时，函数
有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线
对称，两个函数图像的交点就是函数
，的图像与直线
的切点.

设切点为
，

，
，
，
,

当
时，函数
有且只有一个零点
；

（3）当
=1时，设


，则

，当
时，
，
，

当
时，
，
．

在
上是减函数.

又
＝0，不等式
解集是
．

21．B．解：设M=
，则

=8
=
，故

=
，故

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=
．………10′

C．解：由题意知，直线
的倾斜角为
，并过点（2，0）；曲线
是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆
也过点（2，0）；设直线
与圆
的另一个交点为，在
中，
．…………10′

22．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝
；………5′

（2）由已知，
，两边取模，得
，所以
.

所以
=

而

所以
…………10′[来源:学&科&网]

23．解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为
，从1到2与从2到1的概率为
.

（1）P＝P（0123）＝1

＝
； ………4′

（2）X＝0,1，2. P（X＝1）＝P（010123）＋P（012123）＋P（012321）

＝1
1

＋1



＋1

1

＝
，P（X＝2）＝P（012323）＝1

1
＝
，

P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝

或P（X＝0）＝P（010101）＋P（010121）＋P（012101）＋P（012121）

X

0

1

2



p









＝1
1
1＋1
1

＋1


1＋1



＝