中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）

本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数
，
，则
在复平面内对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集
是实数集

则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知平面向量
，
，若
∥
，

则

等于( )

A．

B．

C．

D．

4．定义某种运算
，运算原理如上图所示，则式子
的值为（ ）

A．4 B．8 C．11 D．13

5．把边长为
的正方形
沿对角线
折起，使得平面
平面
，形成三棱锥
的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列四个命题中，正确的有

①两个变量间的相关系数
越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题
：“
，
”的否定
：“
，
”；

③用相关指数
来刻画回归效果，若
越大，则说明模型的拟合效果越好；

④若
，
，
，则
．

A．①③④ B．①④ C．③④ D．②③

7．对
、
，运算“
”、“
”定义为：
=
，
=
，则下列各式其中不恒成立的是（ ）

　⑴
⑵

⑶
⑷

A．⑴、⑶ B． ⑵、⑷

C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷

8. 已知函数

满足
，且
时，
，则当
时，
与
的图象的交点个数为( )

A．13 B．12 C．11 D．10

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．已知函数
，则
.

10．如图，一不规则区域内，有一边长为
米的正方形，向

区域内随机地撒
颗黄豆，数得落在正方形区域内

（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）

11．在二项式
的展开式中，含
的项的系数是 ．

12．已知
,

,则
.

13．已知数列
为等差数列，若
，
，

则
.

14．如图,
，且
，若
，

（其中
），则终点
落在阴影部分（含边界）

时，
的取值范围是 .

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分12分）

设平面向量
，
，函数
.

（Ⅰ）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当
,且
时,求
的值.

16．（本题满分12分）

某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；

（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为
，求
的分布列及数学期望
．

17．（本小题满分14分）

如图，在底面是矩形的四棱锥
中，

⊥平面
，
，
.

是
的中点，

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值

18．（本小题满分14分）

数列{
}的前n项和为
，
．

（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）若
，数列
的前
项和
，证明：

．

19．（本小题满分14分）

已知函数
，.

（Ⅰ）若
，且对于任意
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅱ）设函数
，求证：

20．（本题满分14分）

已知函数
，
（其中
为常数）；

（Ⅰ）如果函数
和
有相同的极值点，求
的值；

（Ⅱ）设
，问是否存在
，使得
，若存在，请求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）记函数
，若函数
有5个不同的零点，求实数
的取值范围．

中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

DAAD BCBC

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9.
; 10.
11.
; 12.
； 13. 45； 14.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分12分）

设平面向量
，
，函数
。

（Ⅰ）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当
,且
时,求
的值.

15．解： 依题意


………（2分）

………………………………………………（4分）

（Ⅰ） 函数
的值域是
；………………………………………………（5分）

令
，解得
………………（7分）

所以函数
的单调增区间为
.……………………（8分）

（Ⅱ）由
得
,

因为
所以
得
,………………………（10分）

……………………………………………………………………（12分）

16．(本题满分12分)

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为
，求
的分布列及数学期望
．

16. 解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）

众数的估计值为75分 ……………（5分）

所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分）

（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是
，

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是
，

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率
……………（8分）

随机变量
的可能取值为0、1、2、3，则有．

∴

∴变量
的分布列为：

0

1

2

3



P











 …………（10分）

…………（12分）

解法二. 随机变量
满足独立重复试验,所以为二项分布, 即
………（10分）

…………（12分）

17．（本小题满分14分）

如图，在底面是矩形的四棱锥
中，

⊥平面
，
，
.
是

的中点，

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值

17．解法一：（Ⅰ）
，
，

. ---------------------------------------------------------------------------------（2分）

,
.

而
,
平面

. ………………………（4分）

. ………………………（5分）

（Ⅱ）连结
、
，取
中点
， 连结
， 则
,

∵
平面
， ∴
平面
.

过
作
交
于
，连结
，

则
就是二面角
所成平面角. ………………………（7分）

由
，则
.

在
中，
解得

.

因为
是
的中点，所以
. ………………………（8分）

而
，由勾股定理可得
. ………………………（9分）

. ………………………（10分）

（Ⅲ）延长
，过
作
垂直
于
，连结
，

又∵
，∴
⊥平面
，

过
作
垂直
于
， 则
,

所以
平面
, 即
平面
，

所以
在平面
内的射影是
，
是直线与平面所成的角.

………………………（12分）

.

.

.……………（14分）

解法二：以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则
(0，0，0) ,
(2，0，0),
(2，4，0) ,
(0，4，0) ，

(0，2，1) ,
(0，0，2) . ……………………（2分）

∴
＝(2，0，0) ,
＝(0，4，0) ,
＝(0，0，2) ,
＝(－2，0，0) ,

＝(0，2，1) ,
＝(2，4，0) . 　　 ……………………（3分）

（Ⅰ）
,
.

又
,
. 　

………………………（5分）

,

,