东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
的对应点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（4）执行右图所示的程序框图，输出的a的值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）在△
中，
，
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）已知直线
与圆
相交于
，
两点，若
，则
的取值范围为

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）在直角梯形
中，
，
，
,
，点
在线段
上，若
，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）定义
设实数
满足约束条件
则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若函数
为奇函数，当
时，
，则
的值为 ．

（10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积为 ．

（11）若点
为抛物线
上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点
到抛物线的准线的距离为 ．

（12）函数
的最大值为 ．

（13）如图，已知点
,点
在曲线

上，若阴影部分面积与△
面积相等时，则
．

（14）设等差数列
满足：公差
，
，且
中任意两项之和也是该数列中的一项. 若
，则
； 若
，则
的所有可能取值之和为 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足：

，求数列
的前
项和.

（17）（本小题共14分）

如图，在三棱柱
中，
平面

，
，
，
分别是
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

（18）（本小题共13分）

已知
，函数
．

（Ⅰ）当
时，求
的最小值；

（Ⅱ）若
在区间
上是单调函数，求
的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆

上的点到其两焦点距离之和为
，且过点
．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）
为坐标原点，斜率为
的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点
，
，若
，求△
的面积.

（20）本小题共14分）

若无穷数列
满足：①对任意
，
；②存在常数
，对任意
，
，则称数列
为“
数列”.

（Ⅰ）若数列
的通项为

，证明：数列
为“
数列”；

（Ⅱ）若数列
的各项均为正整数，且数列
为“
数列”，证明：对任意
，
；

（Ⅲ）若数列
的各项均为正整数，且数列
为“
数列”，证明：存在
，数列
为等差数列.

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）A （4）C

（5）C （6）A （7）C （8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）
（11）
，

（12）
（13）
（14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由

，

得
．

所以
． …………………8分

（Ⅱ）因为
，

所以
．

当
，即
时，

函数
在区间
上的最大值为
．

当
，即
时，

函数
在
上的最小值为
．…………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，则依题设
．

　　　　　　由
,可得
．

　　　　　由
，得
，可得
．

　　　　　所以
．

　　　　　可得
．……………………………6分

　　（Ⅱ）设
，则
.

　　　　　即
，

　　　　　可得
，且
．

　　　　　所以
，可知

．

　　　　　所以
，

　　　　　所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．

　　　　　所以前
项和
．　…………………………13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）取
的中点
，连结
，交
于点
，可知
为
中点，

连结
，易知四边形
为平行四边形，

所以
∥
．

又
平面
，
平面
，

　　　所以
∥平面
．……………………………4分

证明：（Ⅱ）因为
，且
是
的中点，

所以
．

因为
平面
，所以
．

所以
平面
．

又
∥
，所以
平面
．

又
平面
，

所以平面
平面
．……………………………９分

解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系
，

则
，
,
，
．

　　
，
，
．

设平面
的法向量为
.

则

所以

令
.

则
.

设向量
与
的夹角为
，

则
.

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………………………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当
时，
（
），

．

所以，当
时，
；当
时，
．

所以，当
时，函数有最小值
．　　　　……………６分

（Ⅱ）
．

　　　当
时，
在
上恒大于零，即
，符合要求．

　　　当
时，要使
在区间
上是单调函数，

　　　当且仅当
时，
恒成立．

　　　即
恒成立．

　　　设
，

　　　则
，

　　　又
，所以
，即
在区间
上为增函数，

　　　
的最小值为
，所以
．

综上，
的取值范围是
，或
．……………13分

（19）（共13分）

解（Ⅰ）依题意有
，
．

　　　　故椭圆方程为
． ………………………………………………５分

（Ⅱ）因为直线