重庆南开中学高2014级高三1月月考

数学试题（理）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、下列选项一定正确的是（ ）

A、若
，则
B、若
，则

C、若
，则
D、若
，则

3、命题“对
，都有
”的否定为（ ）

A、对
，都有
B、对
，都有

C、
，使得
D、
，使得

4、函数
的零点所在区间为（ ）

A、
B、
C、
D、

5、某班要邀请6位教师中的4位参加元旦晚会，已知教师甲和教师乙不能同时参加，则不同的邀请方法种数为（ ）

A、15 B、13

C、11 D、9

6、已知
的展开式中各项系数之和为1，则该展开

式中含
项的系数为（ ）

A、
B、40

C、
D、20

7、某算法的程序框图如题
图所示，若输入
，

则输出的结果为（ ）

A、1 B、2

C、3 D、4

8、设
、
分别是双曲线
的左、右焦点，以
为直径的圆与双曲线
在第一象限的交点为
，若双曲线的离心率为5，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

9、已知定义在
上的函数
、
满足
，其中
且
，在有穷数列
中任取前
项相加，则前
项和大于
的概率是（ ）

A、
B、
C、
D、

10、已知
为
的外心，
。若
，则
的最小值为（ ）

A、1 B、
C、
D、2

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。

11、已知复数
（
为虚数单位），则
。

12、设
为第二象限角，若
，则
。

13、若实数集
中至少含有两个元素，且
中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称
为“绝对好集”。已知集合
，则
的所有子集中“绝对好集”的个数为 。

考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14、如题
图所示，过
外一点
作一条直线与
交

于
两点，
切
于
，弦
过
的中点
。已

知
，则
。

15、直线
与曲线
相交，截得的

弦长为 。

16、若关于
的不等式
的解集是
，则实数
的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分13分）甲、乙、丙、丁四名志愿者被随机分到
、
、
三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。

（I）求甲、乙两人同时参加
岗位服务的概率；

（II）设随机变量
为这四名志愿者中参加
岗位服务的人数，求
的分布列与数学期望。

18、（本小题满分13分）函数
。

（I）当
时，求
的值域；

（II）在
中，已知
，求
的面积。

19、（本小题满分13分）已知二次函数
的图象经过点
，其导函数
，当
时，函数
值域中整数值的个数记为
。

（I）求数列
的通项公式；

（II）令
，求数列
的前
项和
。

20、（本小题满分12分）已知
。

（I）讨论函数
的单调性；

（II）当
时，令
，求经过点
且与曲线
相切的直线方程。

21、（本小题满分12分）已知椭圆
，
、
是椭圆的左、右顶点，
是椭圆的左焦点，点
是椭圆上的动点。其中，
的最小值是
，
的面积最大值是
。

（I）求该椭圆的方程；

（II）如图，直线
，

，求点
到点
的距离的最大值。

22、（本小题满分12分）已知各项均大于1的数列
满足：

。

（I）求证：数列
是等比数列；

（II）求证：
。