东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （文科） 2014.1

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则
( )

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
对应的点位于 ( )

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的是( )

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）“
”是“
”的( )

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）执行如图所示的程序框图，输出的
值为 ( )

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）直线
与圆
相交于
，
两点，若
，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）关于平面向量
，有下列三个命题：

①若
，则
；

②若
，
，
∥
，则
；

③非零向量
和
满足
，则
与
的夹角为
．

其中真命题的序号为( )

（A）①② （B）①③

（C）②③ （D）①②③

（8）已知函数
若
，则
的取值范围是( )

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）命题“
，
”的否定是 ．

（10）双曲线
的离心率
；渐近线方程为 ．

（11）在△
中，
，
，
，则
．

（12）已知变量
满足约束条件
则
的最大值为 ．

（13）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ．

（14）对于实数
，用
表示不超过
的最大整数，如
，
．若
，

，
为数列
的前
项和，则
；
__________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值．

（16）（本小题共13分）

已知
是一个公差大于
的等差数列，且满足
,
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足：

，求
的前
项和.

（17）（本小题共14分）

如图，边长为
的正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
分别为
的中点，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
.

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使得
？

若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

（18）（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间与极值；

（Ⅱ）若对于任意的
，都有
，求
的取值范围.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆

的离心率为
，右焦点为
．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点且斜率为
的直线与椭圆交于点
，
，

若
，求斜率
的值.

（20）（本小题共14分）

设集合
，若
是
的子集，把
中所有元素的和称为
的“容量”（规定空集的容量为
），若
的容量为奇（偶）数，则称
为
的奇（偶）子集．

(Ⅰ) 写出
的所有奇子集；

(Ⅱ) 求证：
的奇子集与偶子集个数相等；

（Ⅲ）求证：当
时，
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

东城区2013-2014学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）B （3）A （4）A

（5）C （6）B （7）C （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
，
（10）

（11）
（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为

，

所以
的最小正周期为
． …………………8分

（Ⅱ）因为
，所以
．

因为
，

所以
．

所以
．

故
． ……………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，且
．

由已知可得

解方程组，可得
，
．

可得
．

所以数列
的通项公式
． ……………………………6分

（Ⅱ）设
，则
,即
.

当
时，得
.

当
时，
．

当
时符合
．

综上，可知

．　　　　　

所以
．

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．

所以数列
前
项和
．　………………13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）因为
为正方形，所以
.

因为平面
平面
，且
垂直于这两个平面的交线
，

所以
平面
. …………………4分

（Ⅱ）连结
.

因为
是矩形，
是
的中点，

所以
是
的中点.

因为
是
的中点，

所以
∥
.

因为
平面
，

平面
，

所以
∥平面
. …………………9分

（Ⅲ）过
点作
交线段
于点
，
点即为所求.

因为
平面
，

所以
.

因为
，

所以
平面
.

所以
.

因为
，
，

所以
. …………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当
时，因为
，

所以

．

所以，当
时，
；

当
时，
．

所以，函数
的单调递增区间为
，递减区间为
．

且函数
在
时，取得极大值
，无极小值．　……6分

（Ⅱ）因为
，又
，

所以，当
时，
；当
时，
．

即函数
在
上单调递增；在
单调递减．

所以函数
在
时，取得最大值
．

　　　 因为对于任意
，都有
，

　　　 所以
，即
，可得
．

　　　 即
的取值范围是
．　 ……………13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）依题意有
，又
，即
，
．

故椭圆方程为
． …………………………………………………5分

（Ⅱ）因为直线
过右焦点
，设直线
的方程为
.

联立方程组

消去
并整理得
．

故
，
．

．

又
，即
．

所以
，

可得
．…………………………………13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）
，