重庆南开中学高2014级高三1月月考

数学试题（文）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知复数
在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、设集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

3、搜集到两个相关变量
的一组数据
，经回归分析之后得到回归直线方程中斜率的估计值为2，且
，则回归直线方程为（ ）

A、
B、
C、
D、

4、如右图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其

体积为
，则该几何体的俯视图可以是（ ）

5、函数
的图像向右平移
个单位后与原图像重

合，则正实数
的最小值是（ ）

A、
B、
C、
D、3

6、右图为一程序框图，输出结果为（ ）

A、
B、
C、
D、

7、数列
的首项为1，
为等比数列且
，若
，则
（ ）

A、16 B、32 C、64 D、128

8、定义在
上的函数
为偶函数且关于
对称，当
时，
，则
（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

9、已知圆
（
为坐标原点），点
，现向圆
内随机投一点
，则点
到直线
的距离小于
的概率为（ ）

A、
B、
C、
D、

10、双曲线
的两条渐近线分别为
，右焦点为
，若在右支上存在一点
，使得
到
的距离
、
、
到
的距离
依次成等比数列，则该双曲线的离心率
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，考生答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。

11、已知抛物线
上一点
到抛物线焦点的最短距离为1，则该抛物线的准线方程为 。

12、若实数
满足
，则
的最小值为 。

13、已知
，且
，则
。

14、定义在
上且恒为正的函数
满足
，若
，则
的解集为 。

15、实数
满足
，则
的最大值是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分13分）已知数列
的首项为
，且
为公差是1的等差数列。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）当
时，求数列
的前
项和
。

17、某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，

从中随机抽取50人进行统计（已知这50人身材均介

于
到
之间），现将抽取结果按如下方式

分成八组：第一组
，第二组
，
，

第八组
，并按此分组绘制如下图所示的频率

分布直方图，其中，第六组和第七组还没有绘制完成，

已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人。

（1）求第七组的频率；

（2）若从身高属于第一组和第六组的所有男生中随机抽取两名男生，求两人身高差距不超过
的概率
。

18、已知
的三个内角分别是
，所对边分别为
，满足
。

（1）求
的值；

（2）若
，求
的面积
。

19、如图所示，四棱锥
中，底面
为正方形，

，
，
为线段
上靠近
的

一个三等分点。

（1）证明：
；

（2）求三棱锥
的体积
。

20、今年双十一，淘宝网站一天的销售记录震惊全球，网购已经成为人们消费的主要形式之一。假设一淘宝网店出售某商品，根据人们的咨询量预估成交额
（千元）与售价
（千元）之间满足关系

，而由于价格原因未能交易成功的成交额
（千元）与售价
（千元）之间满足关系
，记实际成交额为
。

（1）若发现该商品的实际成交额一直下降，求此时
的取值范围；

（2）证明：只要实际成交额能出现上升趋势，则实际成交额一定不会小于2（千元）。

21、已知椭圆
的离心率
，左准线方程为
。

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）已知过椭圆
上一点
作椭圆的切线，切线方程为
。现过椭圆
的右焦点作斜率不为0的直线
于椭圆交于
两点，过
分别作椭圆的切线
。

①证明：
的交点
在一条定直线上；

②求
面积的最小值。