2014届高三11月模拟考试试题数学（理科）

第Ⅰ卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
为纯虚数，则实数的值为

A．
B．
C． D．
或

2．已知全集

中有m个元素，
中有n个元素．若
非空，则
的元素个数为

A．
B．
C．
D．

3．将函数y=
的图像向左平移
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是

（A）y=
（B）y=

（C）y=1+
（D）y=

4．已知
，则向量与向量
的夹角是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 过椭圆
(
)的左焦点
作轴的垂线交椭圆于点，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

6. 下列结论错误的是 （ ）

A．命题：“若
”的逆否命题为:“若
，则

”

B. 若p且q为假命题，则p、q均为假命题

C. “
”是“
”的充分不必要条件

D. 命题:“存在为实数，
”的否定是“任意是实数，
”

7. 如图，在半径为3的球面上有
三点，
，球心
到平面
的距离是
，则
两点的球面距离是

A.
B. C.
D.

8.
展开式中不含的项的系数绝对值的和为
，不含的项的系数绝对值的和为
，则
的值可能为

A．
B．

C．
D．

9. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为
，则下列关系中正确的为

A．
B．
C．
D．

10. 设函数
的定义域为，若所有点
构成一个正方形区域，则的值为

A．
B．
C．
D．不能确定

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 对任意非零实数
，若
的运算原理如图所

示，则
_____．

12．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）.

13. 若⊙
与⊙
相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 14. 若不等式
的解集为区间
,且
,则

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）．

A．（坐标系与参数方程选做题）若直线
与直线
（为参数）垂直，则
．

B．（不等式选讲选做题）不等式
的实数解为 ．

C．(几何证明选讲选做题）如图4，点
是圆
上的点， 且
，则圆
的面积等于 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.

16．（本小题满分12分）设函数
。

（Ⅰ）求函数
的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设A，B， C为
的三个内角，若
，且C为锐角，求

。

17．（本小题满分12分）从集合
的所有非空子集中，等可能地取出一个。

记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

记所取出的非空子集的元素个数为
，求
的分布列和数学期望E

18. （本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，
点E是SD上的点，且

（Ⅰ）求证：对任意的
，都有

（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为

，直线BE与平面ABCD所成的角为，若
，求
的值

19．（本小题满分12分）已知数列
的前n项和
（n为正整数）。

（Ⅰ）令
，求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，
试比较
与
的大小，并予以证明。

20．（本小题满分13分）过抛物线
的对称轴上一点
的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线
作垂线，垂足分别为
、
。（Ⅰ）当
时，求证：
⊥
；

（Ⅱ）记

、
、
的面积分别为
、
、
，是否存在
，使得对任意的
，都有
成立。若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）如
，求
的单调区间；

（Ⅱ）若
在
单调增加，在
单调减少，证明
＜6.

数学（理科）答案

一、选择题：ADBCB BBDCB

二、填空题：

11. 1 12. 324 13. 4 14.
15. (A)
(B)
且
(C) 8π

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解: （1）f(x)=cos(2x+
)+sin
x.=

所以函数f(x)的最大值为
,最小正周期.

（2）
=
=－
, 所以
, 因为C为锐角, 所以
,

又因为在ABC 中, cosB=
, 所以
, 所以

.

17．（本小题满分12分）

解：解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

基本事件总数n=

=31

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}

事件A包含的基本事件数m=3

所以

（II）依题意，
的所有可能取值为1，2，3，4，5

又
，
，

，

故
的分布列为：

 1

2

 3

 4

 5



 P













从而E

+2
+3
+4
+5

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

SD⊥平面ABCD， BD是BE在平面ABCD上的射影， AC⊥BE

（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,

SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=
。

在Rt△BDE中， BD=2a，DE=

在Rt△ADE中,

从而

在
中，
.

由
，得

.

由
，解得
，即为所求.

证法2：以D为原点，
的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

图2所示的空间直角坐标系，则

D（0，0，0），A（
，0，0），B（
，
，0），C（0，
，0），E（0，0
），

，

即
。

解法2：

由（I）得
.

设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由
得

。

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为
.

.

0<
，
，

.

由于
，解得
，即为所求。

19．（本小题满分12分）

解：（I）在
中，令n=1，可得
，即

当
时，
，

.

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列.

于是
.

(II)由（I）得
，所以

由①-②得

于是确定
的大小关系等价于比较
的大小

由

可猜想当
证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设
时

所以当
时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切
的正整数，都有

证法2：当
时

综上所述，当

，当
时

20．（本小题满分13分）

解：依题意，可设直线MN的方程为
，则有

由
消去x可得

从而有
①

于是
②

又由
，
可得