2013-2014学年周宁，政和一中第四次联考

数学（理）试卷

审核人：高三备课组

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合
，则
等于 （ ）

A．
B．[1，2] C．
D．

2．函数
的零点所在的区间是（ ） A．（一2，一1） B．（一1，0） C．（0，1） D．（1，2）

3．如图，D、E、F分别是
的边AB、BC、CA的中点，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知直线
互相平行，则
的值是( )

A．
B．
C．
或
D．
或

5．下列选项中，说法正确的是（ ）

A．命题“
”的否定是“
”

B．命题“
为真”是命题“
为真”的充分不必要条件

C．命题“若
，则
”是假命题

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

6.已知
成等比数列，且曲线
的顶点是
，则
等于（ ）

Ａ3 Ｂ　2 Ｃ　1 Ｄ　

7．设
表示不同的直线，
表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若
∥
，且
则
； ②若
∥
，且
∥
.则
∥
；

③若
，则
∥m∥n；

④若
且n∥
,则
∥m.

其中正确命题的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8.设函数
的图像关于直线
对称,它的周期是
,则（ ）

A.
的图象过点

B.
在
上是减函数

C.
的一个对称中心是

D.将
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象.

9．一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）

（A）6

（B）8

（C）8

（D）12

10．已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数
满足

考察下列结论：①
；②
为偶函数；③数列
为等比数列；④数列
为等差数列。其中正确的结论是( )

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．已知
，若
，则
的值等于

12.设
为等差数列
的前
项和，若
公差
则

13.在
中，角
所对的边分别为
.若
，则

14．若实数x，y满足
且
的最小值为4，则实数b的值为

15.如图，平面四边形
中，
，
，将其沿对角线
折成四面体
，使平面
平面
，若四面体
顶点在同一个球面上，则该球的体积为

三、解答题：本大题共6小题，共80分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）

已知动点C到点A(－1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的倍．

(1)试求点C的轨迹方程；

(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程．

17. （本题满分13分）

四棱锥
中，
，
，

，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值；

`18. (本题满分13分)

各项为正数的数列
的前n项和为
，且满足：

（1）求
；

（2）设函数

求数列

19. (本题满分13分)

20 . （本小题满分14分）

已知函数
在[1，＋∞）上为增函数，且
，
，
∈R．

（1）求θ的值；

（2）若
在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设
，若在[1，e]上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围。

21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点
变换成
，求矩阵M。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C
的参数方程是
（
为参数）.

（Ⅰ）将C
的方程化为普通方程；

（Ⅱ）以
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C
的极坐标方程是
， 求曲线C
与C
交点的极坐标.

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知函数
，
．（Ⅰ）若函数
的值不大于1，求
的取值范围；（Ⅱ）若不等式
的解集为R，求
的取值范围．

2014届政和一中周宁一中第四次联考

高三数学参考答案

(总分150分，考试时间120分钟)

注：请在规定区域内答题，否则不予计分。

一、选择题（每题5分、共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

D

A

C

B

B

C

A

D



二、填空题（每题4分、共20分）

11、3 12、5 13、1 14、3

15、

三、解答题（80分）

16、（13分）

解：(1)设点C(x，y)，

则|CA|＝，|CB|＝.

由题意得＝×，

两边平方得(x＋1)2＋y2＝2×[(x－1)2＋y2]，

整理得(x－3)2＋y2＝8.

故点C的轨迹是一个圆，其方程为(x－3)2＋y2＝8.

(2)由(1)得圆心为M(3,0)，半径r＝2.

(i)若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，圆心到直线的距离d＝3≠2，故该直线与圆不相切；

(ii)若直线l的斜率存在，设为k，

则直线l的方程为y＝kx＋1.

由直线和圆相切得：d＝＝2，

整理得k2＋6k－7＝0，

即(k－1)(k＋7)＝0，解得k＝1或k＝－7.

故所求直线的方程为y＝x＋1或y＝－7x＋1，

17、（13分）

（Ⅰ）证明：∵
，
底面
，
，又∠ACB=90°所以
，而
，所以
；

（Ⅱ）
，
，
为正三角形

以A为原点，CD边的中线所在直线为
轴，直线AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则
，由（1）取面PAC的法向量

，由于
，知
面
，故可设面PCD的法向量
，

则
，
，即

，所以，二面角
的平面角的余弦值为
.

18、（13分）

解：（1）由
①得，当n≥2时，
②；

由①－②化简得：
，又∵数列
各项为正数，∴当n≥2时，
，故数列
成等差数列，公差为2，又
，解得
；……………………………………5分

（2）由分段函数
可以得到：

…………………………7分

当n≥3，
时，
，

19、（13分）

20、（14分）

解：（1）由题意，
≥0在
上恒成立，即
．

∵θ∈（0，π），∴
．故
在
上恒成立，

只须
，即
，只有
．结合θ∈（0，π），得
．

（2）由（1），得

．
．

∵
在其定义域内为单调函数，

∴
或者
在[1，＋∞）恒成立．

等价于
，即
，

而
，（
）max=1，∴
．

等价于
，即
在[1，＋∞）恒成立，

而
∈（0，1]，
．

综上，m的取值范围是
．

（3）构造
，
．

当
时，
，
，
，所以在[1，e]上不存在一个
使得
成立．

当
时，
．

因为
，所以
，
，所以
在
恒成立．

故
在
上单调递增，
，只要
，

解得

故
的取值范围是
．

21、（14分）

由①②联立解得
，∴
…………7分

（2）