安徽省皖南八校2014届高三第二次联考

数学理试题　2013.12

　　　　　　　　　　　　　　　第I卷（选择题，共50分）

一、选择题（50分）

1、已知复数
（其中i为虚数单位），则z＝

2、“不等式x（x－2）＞0”是“不等式
＜1”成立的

　A、充分不必要条件　　　　　B、必要不充分条件

　C、充要条件　　　　　　　　D、既不充分也不必要条件

3、等比数列{
}的各项均为正数，且
＝27，则
＝

　A、12　　　　　　　B、10　　　　　　　C、8　　　　　　D、2＋

4、若直线
与曲线
相切，则实数m为

　A、－4或6　　　　B、－6或4　　　　C、－1或9　　　D、－9或1

5、设
为坐标平面上三点（其中
），O为坐标原点，若
在
方向上的投影相同，则实数a与b满足的关系式为

　A、4a－5b＝3　　　B、5a－4b＝3　　　

C、4a＋5b＝14　　 D、5a＋4b＝12

6、右面的程序框图输出的结果为

　A、511　　　　　　B、254

　C、1022　　　　　 D、510

7、已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

8、
则
的值为

9、命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是

　A、全等三角形的面积不一定都相等　　　　B、不全等三角形的面积不一定都相等

　C、存在两个不全等三角形的面积相等　　　D、存在两个全等三角形的面积不相等

10、如图，正方体AC1中，
，点P为平面EFGH内的一动点，且满足
，则点P的轨迹是

　A、抛物线　　　　　B、圆sj.fjjy.org

　C、椭圆　　　　　　D、双曲线

11、
的展开式中x的系数是＿＿＿＿

12、
＝＿＿＿＿＿＿

13、已知点F为双曲线
与抛物线
的公共焦点，M是C1与C2的一个交点，MF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为＿＿＿

14、已知实数x，y满足
的取值范围是＿＿＿＿

15、设
，用
表示不超过x的最大值整数，则y＝
称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有＿＿＿

16、（本题满分12分）

已知△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式
的解集是空集。

（1）求角C的最大值；

（2）若
，△ABC的面积
，求角C取最大值时a＋b的值。

17、（本题满分12分）

从正方体的各个棱面上的12条面对角线中任取两条，设
为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，

（1）求概率P（
＝0）；

（2）求
的分布列，并求其数学期望E（
）。

18、（本题满分12分）如图，已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝1。

（1）求二面角A－CE－D的大小；

（2）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥面ACE，若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由。

19、（本题满分13分）

数列
满足：

（I）设
，求证：
是等比数列；

(II)求数列
的通项公式；

（III）设
，数列
的前n项和为Tn，求证：

20、（本题满分13分）sj.fjjy.org

　已知命题“若点
是圆
上一点，则过点M的圆的切线方程为

”。

（I）根据上述命题类比：“若点
是椭圆
上一点，则过点M的切线方程为＿＿＿”（写出直线的方程，不必证明）

（II）已知椭圆
的左焦　F1（－1,0），且经过点

　　　（i）求椭圆C的方程；

(ii )过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程。

21、（本题满分13分）

已知函数

（I）若f（x）的定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

（II）若函数
有唯一零点，试求实数a的取值范围。

2014届皖南八校高三第二次联考

数学（理科）参考答案

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答 案

Asj.fjjy.org

C

B

A

A

D

B

C

D

C





二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．

12．

13．

14．

15． ②③⑤

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本题满分12分）已知
中，
、
、
是三个内角
、
、
的对边，关于
的不等式
的解集是空集．

（Ⅰ）求角
的最大值；

（Ⅱ）若
，
的面积
，求角
取最大值时
的值．

解：（Ⅰ）显然
不合题意， 则
，

即
， 即
解得：

故角
的最大值为
． -------------------- 6分

（Ⅱ）当
=
时，
，∴
，

由余弦定理得：
，

∴
，∴
． -------------------- 12分

17．（本题满分12分）从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取两条，设
为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，
．

（Ⅰ）求概率
；

（Ⅱ）求
的分布列，并求其数学期望
．

解：（Ⅰ）当ξ＝0时，即所选的两条面对角线平行．则P(ξ＝0)
=
．-------- 4分

（Ⅱ）ξ＝0，
；

P(ξ＝0)=
=
， P(ξ＝
)=
=
， P(ξ＝
)=
=
；

ξ

0







P











-------------------- 10
分

Eξ＝
． -------------------- 12分

18．（本题满分12分）已知
是正方形，直线
⊥平面
，且
，

（Ⅰ）求二面角
的大小；

（Ⅱ）设
为棱
的中点，在
的内部或边上

是否存在一点
，使
，若存在，

求出点
的位置，若不存在说明理由．

解：方法一：

（Ⅰ）因为
，
，

设平面
的法向量为
，则
，

令
，得
，同理得平面
的法向量为
，

所以其法向量的夹角为
，即二面角
为
．---------------- 6分

（Ⅱ）∵
，设
，（
，
，
），则
．

由
面
，得


．

∴存在点
（即棱
的的中点），使
面
．------------- 12分

方法二：

（Ⅰ）连结
交于
，则
面
，

作
于
，连结
，则
就是

二面角
的平面角．

．
=
，

∴二面角
为
．

（Ⅱ）存在
的中点
，使
⊥平面
．sj.fjjy.org

是△
中位线，
，而
面
，故
⊥平面
．

19．（本题满分13分）数列
：满足
，

（Ⅰ）设
，求证
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
，数列
的前
项和为
，求证：
．

解：（Ⅰ）由
得
，

，即
，

∴
是以2为公比的等比数列； -------------------- 4分

（Ⅱ） 由
，
即
，

∴
-------------------- 8分

（Ⅲ）

　　　 ∴
． -------------------- 13分

20．（本题满分13分）

已知命题“若点
是圆
上一点，则过点
的圆的切线方程为
”．

（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点
是椭圆
上一点，则过点
的切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．

（Ⅱ）已知椭圆
：
的左焦点为
，且经过点（1，
）．

（ⅰ）求椭圆
的方程；

（ⅱ）过
的直线
交椭圆
于
、
两点，过点
、
分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

解：（Ⅰ）
； -------------------- 3分

（Ⅱ）（ⅰ）
； -------------------- 7分

（ⅱ）当直线
的斜率存在时，设为
，直线
的方程为
，sj.fjjy.org

设A
，B
，

则椭圆在点
处的切线方程为：
①

椭圆在点
的切线方程为：
②

联解方程① ②得：
，

即此时交点的轨迹方程：
． -------------------- 11分

当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

此时


，经过
两点的切线交点为

综上所述，切线的交点的轨迹方程为：
． -------------------- 13分

21．（本题满分13分）已知函数
，（
）

（Ⅰ）若
在定义域上单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若函数
有唯一零点，试求实数
的取值范围．

解：（Ⅰ）
，

∴
，∴
，

∴
， -------------------- 2分

令
，则
有根：
，

，
，函数
单增；

，
，函数
单减； -------------------- 5分

∴
； -------------------- 6分

（Ⅱ）方法一：

由题
，即
有唯一正实数根；

令
，即函数
与函数
有唯一交点；----------- 9分

；

再令
，
，且易得
，

故，当
时，
，
，函数
单调递减；

当
时，
，
，函数
单调递增；

即
，

又当
时，
，

而当
时，
且
，

故满足条件的实数
的取值范围为：
．

-------------------- 13分

方法二：

有唯一正实数根，

，记
；

（ⅰ）若
，
，即函数
在定义域上单调递增，

又
，
，即函数
有唯一零点；

（ⅱ）若
即
，则
，从而
，

又当
时，
，而当
时，
；

故函数
有唯一零点；

（ⅲ）若
，则
，但方程
的两根满足：

，即两根均小于0，

故
，从而
，

由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；

（ⅳ）若
，同样
，则方程
的两根为：

，
（舍）；

当
时，
，故
在
为增函数，

当
时，
，故
在
为减函数，

故，当
时，
取得最大值
；

则
，即
，

所以
，即
；

令
，则
，即
为定义域上增函数，

又
，所以方程
有唯一解
，

故
，解得
；

综上，实数
的取值范围为：
．