数学试卷（文科）

满分150分，考试时间为120分钟

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集为实数R，若集合
，
，则
（ ）.

（A）{2} （B）[0，2] （C）(-∞，2) （D）(-∞，2]

（2）已知
是实数，则“
且
”是“
且
”的 ( ).

（A）充分而不必要条件 （B）充分必要条件

（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）函数
的图象大致为 （ ）.

（4）双曲线
的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是 （ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知数列
是等差数列,若
,则数列
的公差等于 （ ）.

（A）
（B） （C） （D）

（6）如图，半径为
的扇形
的圆心角为
，点
在

上，且
，若
，则
( ).

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）函数
存在与直线
平行的切线，则实数的取值范围是 （ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知直线
上存在点
满足约束条件
， 则实数的取值范围是 （ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）已知直线
与圆
相切，其中
，且
，则满足条件的有序实数对
共有的个数为 ( ).

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（10）对于平面直角坐标系内任意两点
，
，定义它们之间的一种“折线距离”：
．则下列命题正确的个数是 （ ）.

①若
，
，则
；

②若点在线段
上，则
；

③在
中，一定有
；

④在
中，一定有
.

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）命题“对
，都有
”的否定是? ???.

（12）已知200辆汽车通过某一段公路的时速的频率分布直方图如上图所示，求时速在[60，70]的汽车大约有__________辆.

（13）如图，直角
中，
，以
为圆心、
为半径作圆弧交
于点．若圆弧
等分
的面积，且
弧度，则
= ? ???.??

（14）已知函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 ?? ?.

（15）在
中，内角
所对边的长为
. 若
，则下列命题正确的是______ ______?.(写出所有正确命题的序号) ?

①
； ②
； ③
；

④
； ⑤
.

?三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

（16）（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数
的值域.

（17）（本小题满分12分）

前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸

福度为“极幸福”， 若幸福度低于7.5

分，则称该人的幸福度为“不幸福”.

现从这16人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取2人，恰有1人是“极幸福”的概率.

（18）（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为
，对一切正整数n，点
都在函数
的图像上，且在点
处的切线的斜率为

（I）求数列
的通项公式；

（II）若
，求数列
的前n项和
.

（19）（本小题满分12分）

定义在R上的奇函数
有最小正周期4，且
时，
.

（Ⅰ）求
在
上的解析式；

（Ⅱ）判断
在
上的单调性，并给予证明；

（III）当
为何值时，关于方程
在
上有实数解？

（20）（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极小值；

（Ⅱ）设函数
，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量

使得
的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

（21）（本小题满分14分）

如图，长为
的线段
的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点
是线段
上一点，且
．

（Ⅰ）求点
的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）设过点
且斜率不为
的直线交轨迹于
两点．试问在轴上是否存在定点，使
平分
？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

文科数学参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

C

B

C

A

B

D

D

C





二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.
，使得
； 12. 80； 13.
； 14.
； 15. ①②③⑤.

三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

（16）（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题知
， ……………………3分

所以
，即
， ……………………6分

（Ⅱ）由题知

………………10分

所以
的值域为
. ……………………12分

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ……………………4分

（Ⅱ）记“不幸福”2人为
，记“极幸福”4人为
……………………5分

则列举如下：

共15种

其中恰有1人是“极幸福”的是8种 ……………………10分

则
……………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：．解：（I）∵点
在函数
的图像上，

…………1分

当
…………3分

当
满足上式， …………4分

所以数列
的通项公式为
…………5分

（II）由
求导得
…………6分

∵在点
处的切线的斜率为

…………7分

…………8分

用错位相减法可求得
…………12分

（19）（本小题满分12分）

．解：⑴当
时，
,

又
为奇函数，
， ………………………3分

当
时，由

有最小正周期4，

综上， ………………………4分

………………………5分

⑵设
则
,

,

在
上为增函数。 ………………………8分

⑶即求函数
在
上的值域。 ………………………9分

当
时由⑵知，
在
上为增函数，

， ………………………10分

当
时，
，

………………………11分

当
时，

的值域为

时方程方程
在
上有实数解。

………………………12分

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）定义域为
，由已知得
， ………………………2分

则当
时
，
在
上是减函数，

当
时
，
在
上是增函数，

故函数
的极小值为
． ……………………………………………6分

（Ⅱ）若存在，设
，

则对于某一实数方程
在
上有三个不等的实根，

设
，

则函数
的图象与x轴有三个不同交点，

即
在
有两个不同的零点． ………………………9分

显然
在
上至多只有一个零点

则函数
的图象与x轴至多有两个不同交点，

则这样的不存在。 ……………………13分

（21）（本小题满分14分）

解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则x＋y＝(m＋1)2， ① …………1分

由＝m，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，

∴∴ ② ……………………2分

将②代入①，得(m＋1)2x2＋()2y2＝(m＋1)2，

化简即得点M的轨迹Γ的方程为x2＋＝1（m＞0）． ……………………4分

当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；

当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；

当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆． ……………………7分

（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋，

由消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－m2＝0， ……………8分

△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则

y1＋y2＝－，y1y2＝－． ③ ……………………9分

假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD，则直线PC、PD的倾斜角互补，

∴kPC＋kPD＝0， …………………………10分

即＋＝0，∵x1＝ty1＋，x2＝ty2＋，∴＋＝0，

化简，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④ ……………………12分

将③代入④，得－－＝0，即－2m2t(2－a)＝0，

∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对?t∈R都成立，∴a＝2．

故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD． ……………………14分