2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷

2013.12

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 若集合
，
，则
.

2. 设
、
是平面内两个不平行的向量，若
与
平行，则实数
.

3. 在△
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，若
，
，
，则
.

4. 在
的展开式中，若第
项的系数为
，则
.

5. 若圆
的圆心到直线

（
）的距离为
，则
.

6. 函数

的反函数
.

7. 已知椭圆
的左、右两个焦点分别为
、
，若经过
的直线
与椭圆相交于
、
两点，则△
的周长等于 .

8. 数列
中，若
，
（
），则
.

9. 若函数
，则不等式
的解集为 .

10．【文科】如图，正四棱柱
的底面边长
，若异面直线
与

所成的角的大小为
，则正四棱柱
的侧面积为 .

【理科】如图，正四棱柱
的底面边长
，若直线
与底面

所成的角的大小为
，则正四棱柱
的侧面积为 .

11. 【文科】在数列
中，
，
（
），则数列
的前
项和
.

【理科】数列
的前
项和为
，若
（
），则
.

12. 已知全集
，在
中任取四个元素组成的集合记为
，余下的四个元素组成的集合记为
，若
，则集合
的取法共有 种.

13. 【文科】若函数
，则
.

【理科】正三角形
的三个顶点都在半径为
的球面上，球心
到平面
的距离为
，点
是线段
的中点，过
作球
的截面，则截面面积的最小值为 .

14.已知函数
，若方程
有且仅有两个解，则实数
的取值范围是 .

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.若
和
都是定义在
上的函数，则“
与
同是奇函数或偶函数”是“
是偶函数”的………………………………………………………………（ ）

充分非必要条件.
必要非充分条件.

充要条件.
既非充分又非必要条件

16. 若
和
均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）

.

.

.

.

17.将函数
的图像向右平移
个单位，再向上平移
个单位后得到的函数对应的表达式为
，则函数
的表达式可以是………………………………………（ ）

.

.

.

.

18. 若
(
)是
所在的平面内的点，且
.

给出下列说法：

①
；

②
的最小值一定是
；

③点
、
在一条直线上；

④向量
及
在向量
的方向上的投影必相等.

其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）

个.

个.

个.

个.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

已知点
，点
在曲线
:
上.

（1）若点
在第一象限内，且
，求点
的坐标；

（2）求
的最小值.

20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数

（1）【文科】求函数
的值域，并写出函数
的单调递增区间；

【理科】求函数
的最大值，并指出取到最大值时对应的
的值；

（2）若
，且
，计算
的值.

21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径
毫米,滴管内液体忽略不计.

（1）如果瓶内的药液恰好
分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？

（2）在条件(1)下,设输液开始后
（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为
（单位：厘米），已知当
时，
.试将
表示为
的函数.（注:
）

22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3

小题满分6分.

已知数列
中，
，
，
.

（1）证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）在数列
中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；

（3）若
且
，
，求证：使得
，
，
成等差数列的点列
在某一直线上.

3.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.

定义在
上的函数
，如果对任意
，恒有
（
，
）成立，则称
为
阶缩放函数.

（1）已知函数
为二阶缩放函数，且当
时，
，求
的值；

（2）【文科】已知函数
为二阶缩放函数，且当
时，
，求证：函数
在
上无零点；

【理科】已知函数
为二阶缩放函数，且当
时，
，求证：函数
在
上无零点；

（3）已知函数
为
阶缩放函数，且当
时，
的取值范围是
，求
在
（
）上的取值范围.

2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.
； 2.
； 3.
；4.
； 5.
； 6.

（不标明定义域不给分）；

7.
； 8.
； 9.
10．32； 11.【文科】
（
）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】
； 14.
；

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

题号

15

16

17

18



答案

A

D

C

B



三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

【解】设
（
）,

（1）由已知条件得
…………………………2分

将
代入上式，并变形得，
，解得
（舍去）或
……………4分

当
时，

只有
满足条件，所以点
的坐标为
………………6分

（2）

其中
…………………………7分

（
）…………10分

当
时，
……………………………………12分

（不指出
，扣1分）

20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

【解】（1）
………………2分

【文科】由于
，所以函数
的值域为
………4分

由
得

所以函数
的单调的增区间为
，
………6分

（文科不写
，不扣分；不写区间，扣1分）

【理科】由
得，
………4分

所以当
时，
，此时
………6分

（2）由（1）得，
，即
……………8分

其中
得
………………10分

所以
……………11分

………………13分

………………14分

21. （本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

【解】（1）设每分钟滴下
（
）滴，………………1分

则瓶内液体的体积

………………3分

滴球状液体的体积

………………5分

所以
，解得
，故每分钟应滴下
滴。………………6分

（2）由（1）知，每分钟滴下

药液………………7分

当
时，
，即
，此时
………10分

当