石室中学高2014届2013～2014学年度上期“一诊”模拟考试（一）

数学(理科)试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.设集合
，
则使M∩N＝N成立的的值是（ ）

A．1　　　 B．0 C．－1 D．1或－1

2.复数
为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）

A．
B．
C．
D．

3.已知函数
则
（ ）

A．
B．
C． D．

4.函数
的图像可能是（ ）

5.实数
满足条件
,则
的最小值为（ ）

A．
B． C． D．

6.下列说法中正确的是（ ）

A．“
”是“
”必要条件

B．命题“
，
”的否定是“
，
”

C．
，使函数
是奇函数

D．设，是简单命题，若
是真命题，则
也是真命题

7.阅读程序框图，若输入
，
，则输出
分别是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.设函数
的图像关于直线
对称,它的周期是,则（ ）

A．
的图象过点

B．
的一个对称中心是

C．
在
上是减函数

D．将
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象

9. 设三位数
,若以
为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有（　　）

A．12种 B．24种 C．28种 D．36种

10. 定义在上的函数
，且
在
上恒成立，则关于的方程
的根的个数叙述正确的是( ).

A．有两个 B．有一个 C．没有 D．上述情况都有可能

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知向量
、
满足
，则
.

12.
的系数是 （用数字作答）.

13. 在数列
中，
，则
.

14.已知二次函数
的值域为
，则
的最小值为 .

15. 已知是函数
图象上的任意一点，
该图象的两个端点， 点
满足
，（其中
是轴上的单位向量），若
(为常数)在区间
上恒成立，则称
在区间
上具有 “性质”.现有函数：

①
; ②
； ③
； ④
.

则在区间
上具有“
性质”的函数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16. (本小题满分12分)设
是公差大于零的等差数列，已知
，
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
是以函数
的最小正周期为首项，以
为公比的等比数列，求数列
的前项和
.

17. (本小题满分12分) 已知
的内角A、B、C所对的边为
，
,
，且
与
所成角为
.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围.

18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

根据上表：

（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分)已知直三棱柱
的三视图如图所示，且是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）试问线段
上是否存在点，使
与
成
角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

20. (本小题满分13分)已知
.

（Ⅰ）当
时,判断
的奇偶性,并说明理由；

（Ⅱ）当
时,若
,求的值；

（Ⅲ）若
,且对任何
不等式
恒成立,求实数的取值范围.

21. (本小题满分14分)已知函数

（Ⅰ）
时，求
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时，设函数
，若
，求证：

石室中学高2014届一诊模拟考试(一)数学理科答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

C

B

D

B

A

B

C

A



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 5 ； 12. -5 ；13.　　-1　　；14. ； 15. ①③④ .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）设
的公差为
，则
解得
或
（舍）……………5分

所以
………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

其最小正周期为
，故首项为1；……………………………………………………7分

因为公比为3，从而
……………………………………………………………8分

所以
，故

………………………………………………12分

17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）
与向量
所成角为
，

，

又
，


…………6分

（Ⅱ）由（1）知，
， A+C=

=
=
=

，

所以
的范围为
. ……… …12分

18. (本小题满分12分)

解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，

则
………………………………………………………4分

（II）
的可能值得为0，1，2，3，4，5

……………………………………………………………10分

所以随机变量
的分布列如下：

0

1

2

3

4

5



















故
………………………12分

19. (本小题满分12分)

解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱
是直三棱柱，
，
连结
，交
于点
，连结
.由
是直三棱柱，得 四边形
为矩形，
为
的中点.又为
中点，所以
为
中位线，所以
∥
， 因为
平面
，
平面
， 所以
∥平面
. …………4分

（Ⅱ）解：由
是直三棱柱，且
，故
两两垂直.

如图建立空间直角坐标系
. …………5分

，则
.

所以
，

设平面
的法向量为
，则有

所以

取
，得
. …………………… …6分

易知平面
的法向量为
. ………7分

由二面角
是锐角，得
.……………8分

所以二面角
的余弦值为
.

（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.

因为在线段
上，
，
，故可设
，其中
.

所以
，
. ………………………9分

因为
与
成
角，所以
. ………………………10分

即
，解得
，舍去
. ……………………11分

所以当点为线段
中点时，
与
成
角. ………………………12分

20. (本小题满分13分)

解:（Ⅰ）当
时,
既不是奇函数也不是偶函数

∵
,∴

所以
既不是奇函数,也不是偶函数 ………………………………………………3分

（Ⅱ）当
时,
, 由
得

即
或

解得

所以
或
………………………………………………8分

（Ⅲ）当
时,取任意实数,不等式
恒成立,

故只需考虑
,此时原不等式变为
；即

故

又函数
在
上单调递增,所以
;

对于函数

①当
时,在
上
单调递减,
,又
,

所以,此时的取值范围是

②当
,在
上,
,

当
时,
,此时要使存在,

必须有
即
,此时的取值范围是

综上,当
时,的取值范围是
;

当
时,的取值范围是
;

当
时,的取值范围是
………………………………………………13分

21. (本小题满分14分)

解（Ⅰ）
………………………………………………3分

（Ⅱ）
,
，即
在
上恒成立

设
,
，
时，单调减，
单调增，

所以
时，
有最大值.
，

所以
. ………………………………………………8分

（Ⅲ）当
时，
,

,所以在
上
是增函数，
上是减函数.

因为
，所以

即
,同理
.

所以

又因为
当且仅当“
”时，取等号.

又
，
,

所以
,所以
，

所以：
. ………………………………………………14分