数学试卷（理科）

满分150分，考试时间为120分钟

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
为实数，且
. 则“
”是“
”的 （ ）.

（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件

（C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件w

（2）已知
，则
等于 ( ).

（A）4 （B）－2 （C）0 （D）2

（3）一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) .

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

（4）已知
是等差数列,若
,则数列
的公差等于 （ ）.

（A）
（B） （C） （D）

（5）已知
，则函数
与函数
的图象可能是 （ ）.

（6）动圆
过定点且与定圆
相切，那么动圆
的圆心的轨迹是 （ ）.

（A）圆，或椭圆 （B）圆，或双曲线，

（C）椭圆，或双曲线，或直线 （D）圆，或椭圆，或双曲线，或直线

（7）已知直线
上存在点
满足约束条件
， 则实数的取值范围是 （ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如图，半径为
的扇形
的圆心角为
，点
在

上，且
，若
，则
( ).

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）已知直线
与圆
相切，其中
，且
，则满足条件的有序实数对
共有的个数为 ( ).

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（10）设
是定义在上的偶函数,且当
时,
.若对任意的
,不等式
恒成立,则实数的最大值是 （ ）.

(A)
(B)
(C)
(D)

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）已知一元二次不等式
的解集为
，则不等式
的解集为 .

（12）如图，直角
中，
，以
为圆心、
为

半径作圆弧交
于点．若圆弧
等分
的面积，

且
弧度，则
= ? ???.??

（13）在
中,
，则的取值范围是________.

（14）设
分别表示不大于
的最大整数，如
.则集合
表示的平面区域的面积为 .

（15）对于平面直角坐标系内任意两点
，
，定义它们之间的一种“折线距离”：
．则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号)

①若
，
，则
；

②若点在线段
上，则
；

③在
中，一定有
；

④若为定点，为动点，且满足
，则点的轨迹是一个圆；

⑤若为坐标原点，在直线
上，则
最小值为
.

?三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

（16）（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）设
是函数
图象的一条对称轴，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的值域.

（17）（本小题满分12分）

前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

（18）（本小题满分12分）

已知
是不相等的正常数，实数
.

（Ⅰ）求证：
，并指出等号成立的条件；

（Ⅱ）求函数
的最小值，并指出此时的值．

（19）（本小题满分12分）

已知椭圆
:
(
)，直线
经过椭圆
的上顶点和左焦点，设椭圆右焦点为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设是椭圆
上动点,求
的取值范围,并求取最小值时点的坐标.

（20）（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极小值；

（Ⅱ）试问：对某个实数，方程
在
上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由.

（21）（本小题满分14分）

设
，圆
：
与轴正半轴的交点为
，与曲线
的交点为
，直线
与轴的交点为
.

(Ⅰ)用表示
和
； (Ⅱ)求证：
；

(Ⅲ)设
,
，求证：
.

理科数学参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

A

C

B

D

D

A

D

C



二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.
； 12.； 13.
； 14. 5； 15. ①②⑤.

?三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

（16）（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题知
，因为
是函数
图象的一条对称轴，

所以
，即
， ……………………3分

故
，当
为偶数时，
，

当
为奇数时，
； ……………………6分

（Ⅱ）由题知

，……………10分

所以
的值域为
. ……………………12分

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ……………………3分

（Ⅱ）设
表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则
； ……………………7分

（Ⅲ）
的可能取值为0，1，2，3.
；
；

；
.

的分布列为：























所以

. ……………………12分

另解：
的可能取值为0，1，2，3.则
，
. 所以
=
．

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
是不相等的正常数，实数
，应用均值不等式，得：

，即有
，………………………………………5分

当且仅当
，即
时上式取等号； ………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
， ……………………10分

当且仅当
，即
时上式取最小值，即
． ………………12分

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）依题意,
,
, 所以
,
,
， …………3分

所以椭圆的标准方程为
……………………5分

（Ⅱ）由椭圆定义知
，则
， ………7分

而
,当且仅当
时,
,

当且仅当是直线
与椭圆
的交点时,
=2，

所以
的取值范围是
． …………………………9分

设
,由
得
, 由
,

解得
或
,所求
和
. ………………………12分

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）定义域为
，由已知得
， ………………………2分

则当
时
，
在
上是减函数，

当
时
，
在
上是增函数，

故函数
的极小值为
． ……………………………………………5分

（Ⅱ）假设方程
在
上存在三个不相等的实根，

设
，由于
在
上图象连续不断，

则
有两个不同的零点． ………………………8分

即
有两个不同的解，设
，

则
，

设
，则
，故
在
上单调递增，

则当
时
，即
， …………………………………11分

又
，则
故
在
上是增函数，

则
至多只有一个解，

故不存在． ………………………13分

（21）（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)由点
在曲线
上可得
,

又点在圆
上，则
, ……………………2分

从而
的方程为
, 由点
在
上得:
,

将
代入化简得:
. ……………………5分

(Ⅱ)
,
， ………………7分

又
,
，

所以
； ……………………9分

(Ⅲ)先证:当
时,
.

不等式

后一个不等式显然成立,而前一个不等式
.

故当
时, 不等式
成立.

， ……………………12分

(等号仅在
时成立)

求和得:

． ……………………14分