2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（理科）2014.1

一. 填空题：（本题满分56分，每小题4分）

1. 计算：
= .

2. 函数
的最小正周期是 .

3. 计算：
= .

4. 已知
，
，则x= .（结果用反三角函数表示）

5. 直线
与直线
，若
的方向向量是
的法向量，则实数a= .

6. 如果
(
)那么
共有 项.

7. 若函数
的图像经过(0,1)点，则函数
的反函数的图像必经过点 .

8. 某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）

9. 双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .

10. 在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足
，则动点P(x,y)的轨迹方程为 .

11. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则
的值为 .

12. 如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且
，则
的值为 .

13. 一个五位数
满足
且
(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.

14. 定义区间
、
、
、
的长度均为
.已知实数
.则满足
的x构成的区间的长度之和为 .

二. 选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15. 直线
的倾斜角是------------------------------------------------------------------------（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

16. 为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

(A) 向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

(B) 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

(C) 向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）

(D) 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）

17. 函数
是奇函数的充要条件是------------------------------------------------------------------（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

18. 已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①
； ②
；

③
； ④
.

其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------（ ）

(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④

三. 解答题：（本大题共5题，满分74分）

19. （本题满分12分）

在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程
的两个根，且
，求△ABC的面积及AB的长.

20. （本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）

已知函数
.

（1）若
，求实数x的取值范围；

（2）求
的最大值.

21. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）

某种海洋生物身体的长度
（单位：米）与生长年限t（单位：年）

满足如下的函数关系：
.（设该生物出生时t=0）

（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；

（2）设出生后第
年，该生物长得最快，求
的值.

22. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）

给定椭圆
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.

（1）若椭圆C上一动点
满足
，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点
作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，求P点的坐标；

（3）已知
，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

称满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：

①
；②
.

（1）若等比数列
为
阶“期待数列”，求公比q及
的通项公式；

（2）若一个等差数列
既是
阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记n阶“期待数列”
的前k项和为
：

（i）求证：
；

（ii）若存在
使
，试问数列
能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.