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2013年重庆一中高2014级高三上期半期考试

数 学 试 题 卷（理科）2013.11

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.已知向量
，
，且
，则
（ ）

A.
B.2 C.
D.

2. 已知全集U=R，集合
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

3.（原创）等比数列
中，
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.（原创）已知
，若
在上的极值点分别为
，则
的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

5.（原创）设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为4，则
的值为( )

A. 4 B.2 C.
D. 0

6. 已知三个向量
，
,
共线，其中
分别是
的三条边及相对三个角，则
的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

7.（原创）设等差数列
的前项和为
，且
,则使得
的最小的为（ ）

A．10 B． 11 C． 12 D． 13

8.（原创）
（ ）

A. B.
C.
D.

9. 已知实数
分别满足：
，
，则
的最小值是（ ）

A．0 B．26 C． 28 D．30

10. 定义数列
：
；数列
：
；

数列
：
；若
的前n项的积为，
的前n项的和为
，那么
( )

A. B. 2 C. 3 D.不确定

二．填空题（每小题5分，共25分）

11.在等比数列
中,
,则
.

12. 已知向量
满足
，
，则
的夹角为 .

13.（原创）关于的不等式
（
为实常数）的解集为
，则关于的不等式
的解集为 .

14.（原创）若直线
与函数
的图象相切于点，则切点的坐标为 .

15.（原创）设等差数列
有无穷多项，各项均为正数，前项和为
，
，且
，
，则
的最大值为 .

三．解答题（共75分）

16.（13分）设函数
.

（1）求
的最小正周期；

（2）当
时，求实数的值，使函数
的值域恰为
并求此时
在上的对称中心.

17.（13分）已知
是单调递增的等差数列，首项
，前项和为
；数列
是等比数列，首项

（1）求
的通项公式；

（2）令
求
的前20项和
.

18.（13分）函数
的部分图象如下图所示，将
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象.

(1)求函数
的解析式；

(2) 若
的三边为
成单调递增等差数列，且
，

求
的值.

19.（12分）已知函数
，为自然对数的底，

（1）求
的最值；

（2）若关于方程
有两个不同解，求的范围.

20.（12分）已知数列
的首项
其中
，
，令集合
.

（1）若
是数列
中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（2）求证：对
恒有
成立；

（3）求证：
.

21.（12分） 已知函数
.

（1）若函数
在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（2）设
，若函数
存在两个零点
，且实数
满足
，问：函数
在
处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.

2013年重庆一中高2014级高三上期半期考试

数 学 答 案（理科）2013.11

1---10：CDBAA BBCCA

11. 32 12.
13.
14.
15. 16

16. （1）

∴函数
的最小正周期T=。

（2）

又
，

令
，解得
，对称中心为
。

17. 解：(1)设公差为，公比为，则
，

,
，

是单调递增的等差数列，
.

则
,
,

(2)
。

18. 解：（1）由图知：
，∵
，

∴
，即
， 由于
，所以
，
，函数
的解析式为
。

（2）由于
成等差，且
，

所以
，
，
，

所以
,

令
，
，

，由于
，所以
。

19. 解：（1）
，定义域为
，
，令
，解得
，当
时，
；当
时，
，所以
；

（2）由（1）可知
在
时，取得最大值
，
，要让方程有两个不同解，结合图像可知：
，解得
。

20. 解：（1）2,3,1；9,3, 1;

（2）若
被3除余1，则由已知可得
,
；

若
被3除余2,则由已知可得
,
,
；

若
被3除余0，则由已知可得
,
；所以
，

（3）由（2）可得
，

所以，对于数列
中的任意一项
，“若
，则
”.

因为
，所以
.

所以数列
中必存在某一项
（否则会与上述结论矛盾！）

若
,则
；若
,则
,若
,则
,

由递推关系易得
.

21. 解：（1）

由题意，知
恒成立，即
．

又
，当且仅当
时等号成立．

故
，所以
．

（2）设
在
的切线平行于轴，其中

结合题意，有

①—②得

所以
由④得

所以
⑤

设
，⑤式变为

设
，

所以函数
在
上单调递增，

因此，
，即

也就是，
，此式与⑤矛盾．所以
在
处的切线不能平行于轴．