辽宁省五校协作体2014届高三上学期期中考试数学理试题

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、已知一元二次不等式
的解集为
,则
的解集为 （ ）

A、
B、

C、
D、

2、
（　　）

A、
B、
C、
D、

3、设
的内角
所对边的长分别为
,若
,

则角
= （　　）

A、
B、
C、
D、

4、已知函数
是
上的增函数，
是其图象上的两点，那么
的解集的补集是 （　　）

A、
B、
C、
D、

5、棱长均为
三棱锥
，若空间一点P满足

，则
的最小值为 （　　）

A、
B、
C、
D、

6、如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线
,

及直线x=a,

与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分

的概率为
，则
的值是（　　）

A、
B、
C、
D、

7、已知

=
，则

+

+… +

= （ ）

A、
B、
C、
D、

8、已知
，
，
满足
，且
的最大值是最小值的
倍，则
的值是（　 ）

A、
B、
C、
D、

9、已知点
三点不共线，且有
，则有 （　　）

A、
B、
C、
D、

10、规定
表示不超过
的最大整数，
，若方程
有且仅有四个实数根，则实数
的取值范围是 （　　）

A、
B、
C、
D、

11、设函数

，则函数
的各极小值之和为 （　　）

A、
B、
C、
D、

12、可导函数
的导函数为
，且满足：①
；②
，记
，
，
则
的大小顺序为 （　　）

A、
B、
C、
D、

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为_________．

14、数列
中，
，
是方程
的两个根，则数列
的前
项和
　_________　．

15、点
为第一象限内的点，且在圆
上，
的最大值为________．

16、已知三棱锥A﹣BOC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为　_________　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、求函数
的最大值与最小值。

18、四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，

又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分别是BC、PE的中点．

(1)求证：AD⊥PE；

(2)求二面角E－AD－G的正切值．

19、在数列
中，
，
．

（1）设
，求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

20、设
的内角
所对的边长分别为
，且
．

（1）求
的值；

（2）求
的最大值．

21、定义在
上的函数
同时满足以下条件：

①
在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

②
是偶函数；

③
在x＝0处的切线与直线
y＝x＋2垂直．

(1)求函数
＝
的解析式；

(2)设g(x)＝
，若存在实数x∈[1，e]，使
<
，求实数m的取值范围。

22、已知函数
．

（1）证明函数
在区间
上单调递减；

（2）若不等式
对任意的
都成立，（其中
是自然对数的底数），求实数
的最大值．

2013——2014学年度上学期省五校协作体高三期中考试

数学试题（理科答案）

一．选择题：

1.D；2.C；3.B；4.D；5.A；6.B；7.D；8.A；9.B；10.B；11.D；12.C．

二．填空题：

13． 8 ； 14．
； 15． 1； 16．
.

三、解答题：

17、解：

……………4分

……………6分

由于函数
在
中的最大值为

最小值为

故当
时
取得最大值
，当
时
取得最小值
……………10分

18、解法一：(1)如图，取AD的中点O，连结OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，

又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD.

又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE.

∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE. ……………6分

(2)取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知AD⊥OG，

又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，

∵PA＝PD，∠APD＝60°，

∴△APD为等边三角形，且边长为2，

∴OP＝×2＝，FG＝OP＝，OF＝CD＝1，

∴OG＝，∴cos∠GOE＝.……………6分

解法二：(1)同解法一．

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E(0,2,0)，

∴E，＝(2,0,0)，＝.……………8 分

设平面ADG的法向量为n＝(x，y，z)，

由得，，

∴n＝，……………10分

又平面EAD的一个法向量为＝(0,0，)，

又因为cos〈n，〉＝＝＝，……………12分

19、解：解：（1）由已知得b1=a1=1，且
=
+
，

即bn+1=bn+
，从而b2=b1+
，……1分

b3=b2+
，

bn=bn﹣1+
（n≥2）．……3分

于是bn=b1+
+
+…+
=2﹣
（n≥2）．

又b1=1，

故所求的通项公式为bn=2﹣
．……………6分

（2）由（1）知an=2n﹣
，

故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+
+
+
+…+
），

设Tn=1+
+
+
+…+
，①

Tn=
+
+
+…+
+
，②……………8分

①﹣②得，

Tn=1+
+
+
+…+
﹣

=
﹣
=2﹣
﹣
，……………10分

∴Tn=4﹣
．

∴Sn=n（n+1）+
﹣4．……………12分

20、解：Ⅰ）在
中，由正弦定理及
可得
…3分

即
，则
；……6分

（Ⅱ）由
得

………9分

当且仅当
时，等号成立，………………11分

故当
时，
的最大值为
.………………12分

21、 解: (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分

由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分

由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分

(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x …………………………6分

设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分

设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝ ……………8分

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ……………10分

∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分

于是有m>2e－e3为所求．

22、解：（I）
……………1分

设g（x）=ln（1+x）﹣x，x∈[0，1）

函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，

∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，

∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．……………4分

（II）不等式
等价于不等式

由
知，
，……………5分

设
，……………6分

……………7分

设h（x）=（1+x）ln2（1+x）﹣x2（x∈[0，1]）……………8分

h'（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）﹣2x，

由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0

∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减，

h（x）＜h（0）=0

∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减．

∴

故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=
……………11分

即
， ∴a的最大值为
……………12分