贵州省遵义市第四中学2013-2014学年度高三第一学期第三次月考试卷

数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题：本大题共12小题。每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，则
( ）

A.
B.

C.
D.

2. 设复数
满足
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知命题
，命题
，则
是
的（ ）

A．充分必要条件　 　　　 B．必要而不充分条件

C．既不充分也不必要条件　 　　 　 D．充分而不必要条件

4. 已知
为等差数列,若
,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为（ ）

A．3 B．4

C．5 D．6

6．向量
、
的夹角为
，且
，
，则
等于( )

A．1 B．
C．2 D．4

7.某校开设9门课程供学生选修，其中
3门由于上课时间相同，至多选1门。若学校规定每位学生选修4门，则每位学生不同的选修方案共有 （ ）

A.15种 B. 60种 C. 150种 D. 75种

8．函数
(其中
)的部分图象如图所示，将
的图象向右平移
个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ）

A.
B.

C.
D.

9. 已知
，
(0，π)，则
（ ）

A.
B.
1 C.
D. 1

10.直线
是曲线
的切
线，则
的值是 （ ）

A.
B.
C.
D.

11. 函数
的图像因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”。则方程
的实数根的个数为（ ）

A.1 B.3 C.2 D.4

12.已知双曲线
的中心为原点，
是
的焦点，过F的直线
与
相交于A，B两点，且A
B的中点为
,则
的方程式为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。[来源:学_科_网Z_X_X_K]

13.

14、已知函数

15．如图
中，已知点
在
边上，
，
，
，
，则
的长为______________

16．一个四面体所有棱长都为
,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为 。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。

17．(本小题满分12分)

在
中，已知角
的对边分别为
.向量

且向量
与
共线.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
，求
的面积的最大值.

18. (本小题满分12分)

已知数列
满足
.

(I)求数列
的通项公式；

(II)设
，求数列
的前
项和为
.

19.（本小题满分12分）

某社区举办防控甲型H7N9流感知识有奖问答比赛，甲、乙、丙三人同时回答一道卫生知识题，三人回答正确与错误互不影响。已知甲回答这题正确的概率是
，甲、丙两人都回答错误的概率是
，乙、丙两人
都回答正确的概率是
.

(I)求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率；

(II)用
表示回答该题正确的人数，求
的分布列和数学期望
.

20．（本题满分12分）

如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；[来源:学科网]

（Ⅲ）求二面角
的大小．

21．(本小题满分12分)

已知函数
，其中
。
。[来源:学_科_网]

（1）若
是函数
的极值点，求实数
的值；

（2）若函数
的图象上任意一点处切线的斜率
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，

（
I）

（II）

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系。 已知直线
上两点
的极
坐标分别为
，圆
的参数方程为

（I）设
为线段
的中点，求直线
的平面直角坐标方程；

（II）判断直线
与圆
的位置关系。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（I）

（II）求函数
的最小值

遵义四中2014届高三数学第三次月考数学理科试题答案

一.选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

B

A

B

C

D

C

B

C

B[来源:学§科§网]

B





二.填空题:

13
14 0 15
16

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答
应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17

18
解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

19．解：（I）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C，

则
，且
， 1分

， 2分

即
=
， 3分

， 4分

， 5分

， 6分

（II）
的可能取值为0、1、2、3.

则
， 7分

， 8分

， 9分

， 10分

的分布列为

0

1

2

3















 11分

∴
的数学期望
=
. 12分

20. 解：（1）连接D1O，如图，

∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，

∴四边形D1OBM是平行四边形，

∴D1O∥BM．

∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，∴BM∥平面D1AC
．

(2) 连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，BB1=

，

∴B1D1=2
，OB1=2，D1O=2，

则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O
．

∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，

∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1，

∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，

∴D1O⊥平面AB1C．

（Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE⊥AB1于E，连接EC，

∵CB⊥AB，CB⊥BB1，

∴CB⊥平面ABB1，又AB1?平面ABB1，

∴CB⊥AB1，又BE⊥AB1，且CB∩
BE=B，

∴AB1⊥平面EBC，而EC?平面EBC，

∴AB1⊥EC．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴∠BEC是二面角B-AB1-C的平面角．

在Rt△BEC中，BE=
，BC=2

∴tan∠BEC=
，∠BEC=60°，

∴二面角B-AB1-C的大小为60°．

21.解：

（1）
且

对任意的
恒成立

对
任意的
恒成立

而当
时，
取最大值为1，

，且
，

（3）
，且

；
或
；


在
和
上递增；而在
上递减。 当
时

i）
，则
在
上递增，
在
上不可能有两个零点。

ii）
，则
在
上递减，而在
上递增。

在
上有极小值（也就是最小值）

而

时，
在
上有两个零点。

iii）
，则
在
上递减，
在
上不可能有两个零点。

综上所述：

22 .略

23（1）

（2）相交

24 （1）

（2）