辽宁省五校协作体2014届高三上学期期中考试数学文试题

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、在复平面内,复数
(
为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 （ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2、已知一元二次不等式
的解集为
,则
的解集为 （ ）

A、
B、

C、
} D、

3、某车间加工零件的数量
与加工时间
的统计数据如表：

零件数
（个）

10

20

30



加工时间
（分钟）

21

30

39



现已求得上表数据的回归方程
中的
值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为 （　　）

A、84分钟 B、94分钟 C、 102分钟 D、112分钟

4、已知等差数列
的前
项和为
，且
，
为平面内三点，点
为平面外任意一点，若
，则
（　　）

A、

共线

B、

不共线



　

C、

共线与否和点
的位置有关

D、

位置关系不能确定



5、若双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　） 　

A、 B、5 C、 D、2

6、设
的内角
所对边的长分别为
,

若
,则角
= (　　)

A、
B、
C、
D、

7、执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数
值

的个数为 (　　)

A、1 B、2

C、3 D、4

8、已知函数
的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线
平行，若数列
的前
项和为
，则
的值为 （　 ）

A、
B、
C、
D、

9、已知
，
，
满足
，且
的最大值是最小值的
倍，则
的值是（　 ）

A、
B、
C、
D、

10、规定
表示不超过
的最大整数，
，若方程
有且仅有四个实数根，则实数
的取值范围是 （　　）

A、
B、
C、
D、

11、椭圆M：
=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且
的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中
. 则椭圆M的离心率e的取值范围是 （ ）

A、
B、
C、
D、

12、设函数

，则函数
的各极小值之和为 （　　）

A、
B、
C、
D、

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3 ，

宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的

体积为_________．

14、点
为第一象限内的点，且在圆
上，
的最大值为________．

15、在随机数模拟试验中，若
（ ）,
（ ）,共做了
次试验，其中有
次满足

，则椭圆
的面积可估计为 ．

（）表示生成0到1之间的随机数

16、商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c－a）是（b－c）和（b－a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、已知向量
，
，函数
．

(1)求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；

(2)已知
分别为
内角
的对边，且
成等比数列，角
为锐角，且
，求
的值．

18、某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

19、如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离．

20、定义在
上的函数
同时满足以下条件：

①
在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

②
是偶函数；

③
在x＝0处的切线与直线
y＝x＋2垂直．

(1)求函数
＝
的解析式；

(2)设g(x)＝
，若存在实数x∈[1，e]，使
<
，求实数m的取值范围．.

21、已知线段MN的两个端点M、N分别在
轴、
轴上滑动，且
，点P在线段MN上，满足

，记点P的轨迹为曲线W．

(1)求曲线W的方程，并讨论W的形状与
的值的关系；

(2)当
时，设A、B是曲线W与
轴、
轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．几何证明选讲

如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．

23．极坐标与参数方程

已知直线l经过点P，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝cos.

(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

24．不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.

(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；

(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．

2013——2014学年度上学期省五校协作体高三期中考试

数学试题（文科答案）

一．选择题：

1.A；2.D；3.C；4.A；5.A；6.B；7.C；8.D；9.A；10.B；11. A；12.D．

二．填空题：

13． 8 ； 14．1 ； 15．
； 16．
.

三、解答题：

17、解：（Ⅰ）
=

=
﹣2

=
=

=
．……………………4分

故f（x）max=1，此时
，得
．

所以取得最大值的x的集合为{x|
}．……………………6分

（Ⅱ）由f（B）=
，又∵0＜B＜
，∴
．

∴
，∴
．……………………8分

由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．

∴
=

=
．……………………12分

18、(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，

所以全班人数为＝25.

频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016. …………………4分

(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，…………………8分

其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6. …………………12分

19、(1)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.

由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，

∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，

∴BC⊥PC. ……………………4分

(2)设点A到平面PBC的距离为h，

∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，

∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，

∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，

∴VP－ABC＝S△ABC·PD＝，……………………6分

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，

∵PD＝DC＝1，∴PC＝，

∵PC⊥BC，BC＝1，

∴S△PBC＝PC·BC＝，

∵VA－PBC＝VP－ABC，

∴S△PBC·h＝，∴h＝，

∴点A到平面PBC的距离为.……………………12分

20、解: (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分

由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分

由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分

(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x …………………………6分

设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分

设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝ ……………8分

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ……………10分

∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分

于是有m>2e－e3为所求．

21、解：（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a2+b2=|MN|2=16，

而由
=m
有：（x﹣a，y）=m（﹣a，b），解得：
，代入得：
．. ……………3分

当0
时，曲线W的方程为
，表示焦点在x轴上的椭圆；

当
时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；

当
时，曲线W的方程为
，

表示焦点在y轴上的椭圆．. ……………6分

（2）由（1）当m=
时，曲线W的方程是
，可得A（3，0），B（0，1）．

设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，

由对称性可得D（﹣x1，﹣y1）．

因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD=
|BO|（x1+x1）+
|AO|（y1+y1），

即S四边形ACBD=x1+3y1，而
，即
，. ……………9分

所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2
=3
. ……………10分

当且仅当
时，即x1=
且y1=
时取等号，. ……………11分

故当C的坐标为（
，
）时，四边形ABCD面积有最大值3
. ……………12分

22.解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，

即4(4＋x)＝x(x＋10)

化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去) ………………………………5分

即CD＝6，CE＝12.

因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，

则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，

则CD2＋DE2＝CE2，

∴62＋DE2＝122，∴DE＝6.………………………………10分

23．解：　(1)直线l的参数方程为

即(t为参数) ………………………………2分

由ρ＝cos得ρ＝cosθ＋sinθ，

所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，

∴2＋2＝.………………………………4分

(2)把代入2＋2＝

得t2＋t－＝0，………………………………8分

|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.

故点P到点A、B两点的距离之积为.………………………………10分

24．解：　(1)不等式f(x)＋a－1>0，

即|x－2|＋a－1>0，

当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；

当a>1时，解集为全体实数R；

当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－23－a或x

故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．………………………………5分

(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．

又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，

即m的取值范围是(－∞，5)． ………………………………10分