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2013年重庆一中高2014级高三上期半期考试

数 学 试 题 卷（文科）2013.11

选择题（每小题5分，共50分）

1.已知命题：
，则
是（ ）

A．
B．

C．
D．

2．集合
（其中是虚数单位）中元素的个数是（ ）

A． 1 B． 2 C． 4 D． 无穷多个

3．在
上随机取一个数x，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 购物大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

5．已知
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

7．要得到函数
的图象，可以把函数
的图象（ ）

A. 向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C. 向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

8．实数x、y满足
若目标函数
取得最大值4，则实数的值为( )

A．
B．2 C．1 D．

9．设数列
满足
,且对任意
,函数

满足
若

则数列
的前项和
为( )（原创）

A.
B.

C.
D.

10． 函数
，其中
，若动直线
与函数
的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为
，则
的最大值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．一组样本数据的茎叶图如右：

，则这组数据的平均数等于 .

12．若向量
相互垂直，则点（2，3）到点（x,y）的距离的最小值为 . （原创）

13. 执行右边的程序框图，若
，则输出的n= .

14.已知函数
满足
，且
的导函数
，则
的解集为____________(原创)

15．设双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率为，过
的直线与双曲线的右支交于
两点，若
是以为直角顶点的等腰直角三角形，则
_____________

三、解答题(共75分)

16. （本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分）

已知等差数列
中，
.

(Ⅰ) 求数列
的通项公式;

(Ⅱ) 当
取最大值时求的值.（原创）

17. （本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分）

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

(Ⅱ) 在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18．（本小题满分13分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问7分）

设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间.

19.（本小题满分12分,第(Ⅰ)问6分，第(Ⅱ)问6分）

如右图,在底面为平行四边形的四棱柱
中,
底面
,
,

,
．

(Ⅰ)求证:平面
平面
；

(Ⅱ)若
,求四棱锥
的体积．

20. （本小题满分12分第(Ⅰ)问5分，第(Ⅱ)问7分）

如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形
和分别以
、
为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，

（Ⅰ）设半圆的半径
（米），写出塑胶跑道面积
与的函数关系式
；

（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，的范围为
，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近似计算）.

21. （本小题满分12分, 第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问4分,第(3)问4分）

已知圆
直线
与圆
相切，且交椭圆

于
两点，是椭圆的半焦距，
，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）O为坐标原点，若
求椭圆
的方程；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆
的左右顶点分别为A,B，动点
，直线AS,BS与直线
分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.

2013年重庆一中高2014级高三上期半期考试

数 学 答 案（文科）2013.11

选择题：

1—5 ACDBC 6-10 DABCA

二、填空题:

11． 23 12．
13. 4 14.
15.

三、解答题

16解: （Ⅰ）由
…6分

(Ⅱ) 因为

对称轴为
时
取最大值15. …………13分

17解: （Ⅰ） 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(Ⅱ) 记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,.则从5名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),,(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)共有10种. …………9分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1, B2),共有7种

…………11分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
. …………13分

18解: （Ⅰ）由题

………………6分

（Ⅱ）

由

所以函数
的单增区间为:
………………13分

19解：（Ⅰ）证明：

在
中,由余弦定理得：
，所以
,所以
,即
， …………3分

又四边形
为平行四边形,所以
，又
底面
,
底面
,所以
，

又
,所以
平面
, …… ……………………5分

又
平面
,所以平面
平面
． ……………………6分

(Ⅱ)法一：连结
，∵
，∴

∵
平面
，所以
， ……………………………8分

所以四边形
的面积
， …………10分

取
的中点
，连结
，则
，且
，

又平面
平面
,平面
平面

，

所以
平面
，

所以四棱锥
的体积：
． ……12分

法二: 四棱锥
的体积
，……………8分

而三棱锥
与三棱锥
底面积和高均相等，……………10分

所以

．…12分

20解： （Ⅰ）

…………………………5分

（Ⅱ）总造价

…………………………8分

令
，则

∴
在区间
上单调递减

故当
时，总造价最低. ………………………………12分

21解: （Ⅰ）直线
与圆
相切,所以

……………4分

(Ⅱ) 将
代入得

得:
①

设
则

②
因为

由已知
代人（2）

所以椭圆
的方程为
……………8分

(Ⅲ)显然直线AS的斜率存在，设为
且
则

依题意
，由
得：

设
则
即

，又B（2，0）所以
BS：

由

所以
时：
……………12分