湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中2014届高三上学期

三校联考文数试题

时量：120分钟 总分：150分

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合

，则集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.复数
（　　 ）

A.-4 B.4 C.-4i D.4i

3. 已知条件
，条件
，则
是
的（ ）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．设
和
是两个不重合的平面，给出下列命题：

①若
外一条直线
与
内一条直线平行，则
；

②若
内两条相交直线分别平行于
内的两条直线 ，则
；

③设
，若
内有一条直线垂直于
，则
；

④若直线
与平面
内的无数条直线垂直,则
.

上面的命题中，真命题的序号是 （ 　　 ）

A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④

5．已知向量

则以
为邻边的平行四边形的面积为（ ）

A.
B.
C.4 D. 2

6. 如右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 （ ）A.
B.
C.
D.

7．若
的最小值为
，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为
，且图像过点（0，1），则其解析式是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．已知数列
的前
项的和
满足
，则数列
的前
项的和为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一台手机.若这两条短信进入手机的间隔时间不大于
,则手机受到干扰.手机受到干扰的概率是( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上。

10．关于
的不等式
的解集为　　　　　　　　　　．

11. 一个几何体的三视图如右图示，根据图中的数据，

可得该几何体的表面积为 　　　　．

12．设x，y满足

令z＝x＋y，则z的取值范围为 .

13．某饮料店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有下列数据：

x

－2

－1

0

1

2



y

5

4

2

2

1





甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①
；②
；③
，④
，其中正确方程的序号是__________．

14．已知函数
，若函数
有三个不同的零点，则实数m的取值范围是 .

15．对于数列
，规定
为数列
的一阶差分数列，其中
.对自然数
，规定
为数列
的
阶差分数列，其中

⑴若
，则
；

⑵若
，且满足
，则数列
的通项公式为

；

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）设函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）记
的内角A、B、C的对边分别为
，若
且
，求角B的值.

17.（本小题满分12分）某高校从今年参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为
的学生成绩样本，得到频率分布表如下：

组数

分组

频数

频率



 第一组

[230,235）

8

0.16



第二组

[235,240）



0.24



第三组

[240,245）

15





第四组

[245,250）

10

0.20



第五组

[250,255]

5

0.10



合计



1.00





（1）求
的值；

（2）为了选拔出更加优秀的学生，该高校决定在第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五组参加考核的人数；

（3）在（2）的前提下，高校决定从这6名学生中择优录取2名学生，求2人中至少有1人是第四组的概率．

18．（本小题满分12分）如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱
中，

,且
，点
是
中点．

(1)求证：平面
⊥平面
　；

(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，

求三棱锥
的体积．　

19．（本小题满分13分）已知公差不为零的等差数列
的前3项和
,且
、
、
成等比数列．

（１）求数列
的通项公式及前n项的和
；

（2）设
的前n项和，证明：
；

（3）对（2）问中的
，若
对一切
恒成立，求实数
的最小值．

20．（本小题满分13分）某厂家准备在2013年12月份举行促销活动，依以往的数据分析，经测算，该产品的年销售量
万件(假设该厂生产的产品全部销售)，与年促销费用
万元
近似满足
，如果不促销，该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入10万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格规定为每件产品成本的1.5倍．(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

（1）将2013年该产品的年利润
万元表示为年促销费用
万元的函数；

（2）该厂家2013年的年促销费用投入为多少万元时，该厂家的年利润最大？并求出年最大利润．

21．（本小题满分13分）已知函数

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若
，设
是函数
的两个极值点，且
，记
分别为
的极大值和极小值，令
，求实数
的取值范围.

湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中2014届高三上学期三校联考

文数试题参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

A

B

B

C

A

D

C

C

D



二、填空题

10、
； 11、
； 12、
； 13、 ②；

14、
15、 ⑴4016………
；⑵
………

三、解答题

（2)第三组取3人, 第四组取2人,第五组取1人, ……………6分

(3)从这6名学生中取2名学生的取法总数n=15，2人中至少有1人来自第四组的取法m=9,记事件A“所取2人中至少有1人来自第四组”，则

18．(1)证明（略）………………6分

(2)由（1）可知
，所以AC1与平面A1ABB1所成的角为
,在
，由
,

=
………………12分

19． （１）
　　　……………………４分

(2)

，
…………………６分，

易知，
，故

………9分

（3）

，得
则易知

………13分

20．（１）由

………3分

……………………………7分

（2）
，当且仅当
，即年促销费用投入为3万元，该厂家的年利润最大，最大利润为22万元。………………………13分

21.(1)
, ……2分 令
,

①.

②.
时,
,令

,
………6分

(2)依题意有

，………9分

令
,

…………13分