瑞安中学2013学年第一学期高三期中考试

数学（理科）试卷 2013.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 若集合
，则M∩P= （ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知平面向量
且
则
（ ）

A.

B.
C.
D.

3. 若、
都是第一象限的角，则“
”是“
”
（ ）

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 已知
中，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5.抛物线
的焦点关于直线
的对称点是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6. 一束光线从点
出发经轴反射到圆C：
上

的最短路程是 （ ）

A. 4 B.
C. 5 D.

7. 已知双曲线的渐近线方程为
焦点坐标为
、

则该双曲线的方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知
为双曲线C:
的左、右焦点，点P在曲线C上，

则
（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数

，则Q(x)是( )

A．
B．f (x)g (x)

C．f ( x ) – g ( x ) D．

(第9题)

10. 若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的

焦点，则椭圆的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共计28分.

11. 双曲线
的离心率是 ▲ ．

12. 函数
的定义域为
▲ ．

13．已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于A,B两点，若
，则
▲ 。

14.已知函数
的图象由
的图象向右

平移
个单位得到，这两个函数的部分图象

如图所示，则
▲ ．

15. 设函数
，若
，则以
为坐标的点
所构成的图形面积是 ▲ ．

16. 已知
中
,点
是其内切圆圆心，

则
=
▲ ．

17. 设
若
时，不等式
恒成立；

则的取值范围是　　　　　　▲　　　　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出必要的理由和解题步骤.

18.（本题满分14分）已知函数
．

（I）试讨论
的奇偶性；（II）若
，且
的最小值为１，求的值．

19.（本题满分14分）已知
中角
的对边分别是
，设向量
，
，且
，

（I）求
的值；

（II）若实数满足
，求的取值范围.

20.（本题满分14分）已知函数
的部分图像如图所示，其中B,C为函数的最大值和最小值的对应点，过点B与直线AB:
垂直的直线BC被圆
所截得的弦长为
.

（I）求直线BC的方程.（II）求函数
的解析式；

21.（本题满分15分）已知：动点
到点
的距离比它到直线
的距离小1，

（I）求点P的轨迹C的方程；

（II）在直线
上任取一点M作曲线C的两条切线
，切点分别为A,B，在轴上是否存在定点
，使
的内切圆圆心在定直线上？若存在，求出点
的坐标及定直线的方程；若不存在，请说明理由.

22.（本题满分15分）已知函数

（I）求
在

上的最小值；（II）当
时，
恒成立，求正整数
的最大值.
（为自然对数的底数，
）

瑞安中学2013学年第一学期高三年级期中考试

数学（理科）试卷答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

D

D

A

A

D

B

D

B





二、填空题 11.
12.
13. 8 14.

15.
16. 1 17.
.

三、解答题

18. 解:(i)当
时,
定义域为R关于原点左右对称.

为偶函数. …………………(3分)

(ii)当
时,
,

为非奇非偶函数. ……………………………………(7分)

（2）

……………………………………(8分)

当
时，

在
上单调递增，

当
时，
…………………………………… (10分)

当
时，
，
当
时，

又
的最小值为1，
………………… (13分)

综上得：
…………………………………… (14分)

（I）由
得
，…………………………………… (2分)

再由正弦定理得
，…………………………………… (4分)

即
，……………………………………………………… (5分)

又
，
，
，
，……………………………(7分)

（II）解法一：由
得

…………………………………………… (12分) 当且仅当
时取等号.

所以的取值范围是
…………………………(14分)

解法二：由
得

………………… (10分)

表示定点
与动点
连线的斜率，又
，所以动点的轨迹是半圆，结合图像得
……………………(13分)

所以的取值范围是
. ……………………………………………………(14分)

20.解：（I）依题意设直线
……………………………………(1分)

圆心
到直线
的距离
……………………… (3分)

又
………………………………………… (5分)

又依题意
直线
………………… (7分)

(II)由
得：
点
，
………………… (8分)

取直线BC与轴的交点为E，
，……………………………(9分)

点
关于点E中心对称，
…………………………… (10分)

…………………(12分)

函数的图象经过点
，

………………………………………(13分)

……………………… (14分)

21．解：（1）解法（一）：设
，由条件得：
………（2分）

………………………………………（3分）

由条件知：
，
，即

………………………………………………………（6分）

解法（二）：由题设发现：点
在y=-2的上方

∵点P(x,y)到y=-2的距离比它到直线y=-1的距离多1………（2分）

∴点P(x,y)到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离

∴曲线C是以F(0,1)为焦点，直线y=-1为准线的抛物线………（4分）

……………………………………………（6分）

（2）设

直线MA：
……（7分）

令y=-1得：

…（8分）设
，同理得：
……（9分）

，

……………………………………………（10分）

设直线AB：
代入
得：

…………………………（11分）

存在点

………………………………………………………………………(14分)

平分
存在点

的内心在定直线
上.

………………………………………………………………………(15分)

方法（二）：过点A作

垂足为E，过点B作
垂足为D，

连结MF。由抛物线光学性质知：
………（7分）

又AE=AF，AM=AM，

……………………………………………………………………（9分）

………（10分）

，直线AB过焦点F. …………………………………（11分）

以下过程同方法（一）.

22.（I）
的定义域为
得:
………（2分）

当
时，
当
时，

在
内单调递减，在

上单调递增. …………………………………………………………（3分）

当
时，
在
上的最小值为
…………………（4分）

当
时，
在