南昌三中2013—2014学年度上学期第三次月考

高三数学（理）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝sin x，x∈M}，则M∩N ＝( )

A．{1} B．{0} C． {－1} D．{－1,0,1}

2. 已知（1+i)(a-2i)= b-ai(其中a,b均为实数，i为虚数单位），则a+b =( )

A. -2 B.4 C.2 D.0

3. 已知
，则
( )

A．
B．
C．
D．

4. 下列命题错误的是 ( )

A.命题“若
”的逆否命题为“若

”

B. “
”是“
”的充分不必要条件

C. 若
为假命题，则
均为假命题

D. 对于命题
则

5. 若a,b,c均为单位向量，且a·b=0，则|a＋b－c|的最小值是( )

A. －1 B.1 C. ＋1 D. 

6. 已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a7＝7，则a4＝ (　　)

A．20 B．25 C．10 D．15

7.
为等比数列，
，则
( )

A．
B．24 C．
D．48

8. 函数y＝sin x＋sin具有性质(　　)

A．图象关于点对称，最大值为1 B．图象关于点对称，最大值为2

C．图象关于直线x＝－对称，最大值为2 D．图象关于直线x＝－对称，最大值为1

9. 已知函数
有三个不同的实数根，则实数
的取值

范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

10. 已知
若
或
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11. 已知函数
,则
的定义域为 .

12. 设数列
的前n项的和为
，若
，则
等于 。

13. 平面内有三个向量
、
、
,其中与
与
的夹角为120°，
与
的夹角为30°,且|
|＝|
|＝1，|
|＝
，若
＝λ
+μ
（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .

14. 正弦曲线y=sinx与余弦曲线y=cosx及直线x=0和直线x=
所围成区域的面积为 。

15. 如图, 在
中,
,
是
边上一点,
,则
的长为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

16. （本小题满分12分）

已知向量
，函数
的最大值

为4．

（1）求
；

（2）求
在
上的值域．

17. （本小题满分12分） 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且
．

（1）求a1，a3；

（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

18. （本小题满分12分）

已知
且
；

：集合
且
.若
∨
为真命题，
∧
为假命题，求实数的取值范围.

19. （本小题满分12分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.

20. （本小题满分13分）已知函数
，是否存在实数a、b、c，使
同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在
上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．

21. （本小题满分14分）

已知函数f(x)＝x2ln x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；

(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t>e2时，有<<.

南昌三中2013—2014学年度上学期第三次月考

高三数学（理）答卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

二．填空题（每小题5分，共25分）

11、 . 12、 .

13、 . 14、 .

15、 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

16. （本小题满分12分）

已知向量
，函数
的最大值

为4．

（1）求
；

（2）求
在
上的值域．

17. （本小题满分12分） 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且
．

（1）求a1，a3；

（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

18. （本小题满分12分）

已知
且
；

：集合
且
.若
∨
为真命题，
∧
为假命题，求实数的取值范围.

19. （本小题满分12分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.

20. （本小题满分13分）已知函数
，是否存在实数a、b、c，使
同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在
上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．

21. （本小题满分14分）

已知函数f(x)＝x2ln x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；

(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t>e2时，有<<.

南昌三中2013—2014学年度上学期第三次月考

高三数学（理）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

D

C

A

D

B

A

A

B





二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.
. 12. 6 13. 6或0 .14.
＋1 。15.
_____.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

16. （本小题满分12分）

已知向量
，函数
的最大值

为4． （1）求
； （2）求
在
上的值域．

解：（1）

的最大值为4，所以
…………………………………………………（4分）

（2）

，所以
在
上的值域为
……………（12分）

17. （本小题满分12分） 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且
．

（1）求a1，a3；

（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

解：(1)令n=1，则a1=S1=
=0． 2分； a3=2；

（2）由
，即
， ①得
②，②－①，得
． ③ 于是，
． ④ ③+④，得
，即
． 又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．

法二②－①，得
． ③ 于是，

所以，an=n－1．

18. （本小题满分12分）已知
且
；

：集合
且
.若
∨
为真命题，
∧
为假命题，求实数的取值范围.

【答案】对p：所以
．

若命题p为真，则有
；

对q：∵
且

∴若命题q为真，则方程
无解或只有非正根．

∴
或
, ∴

∵p, q中有且只有一个为真命题

∴ (1) p 真，q假：则有
；

(2) p 假，q 真：则有
；

∴
或
．

19. （本小题满分12分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.

解　(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ

2

3

4

5

6



P













(2)由题意知η的分布列为

η

1

2

3



P









所以E(η)＝＋＋＝，

D(η)＝2·＋2·＋2·＝.

化简得 解得a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1.

20. （本小题满分13分）已知函数
，是否存在实数a、b、c，使
同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在
上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．

【解析】：
是奇函数
…3分

又
，即
，

∴
．

∴
或
，但
时，
，不合题意；故
． …6分

这时
在
上是增函数，且最大值是1．

设
在
上是增函数，且最大值是3．

，

当
时
，故
； …8分

又当
时，
；当
时，
；

故
，又当
时，
，当
时，
．

所以
在
是增函数，在（－1，1）上是减函数． …10分

又
时，
时
最大值为3． …11分

∴
经验证：
时，
符合题设条件，

所以存在满足条件的a、b、c，即
…13分

21. （本小题满分14分）已知函数f(x)＝x2ln x.

(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；

(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t>e2时，有<<.

(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.

(2)证明　当0

设t>0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)，由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

(3)证明　因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s>1，从而

＝＝＝＝，

其中u＝ln s．要使<<成立，只需0e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s>e，即u>1，从而ln u>0成立．

另一方面，令F(u)＝ln u－，u>1.F′(u)＝－，令F′(u)＝0，得u＝2.当10；当u>2时，F′(u)<0.故对u>1，F(u)≤F(2)<0，因此ln u<成立．

综上，当t>e2时，有<<.