德州市中学2014届高三上学期期中考试

理科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，（120 分钟）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∪B）=（　　）

A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}

2、复数z满足（z
3）（2
i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数
为（　　）

A．2+ i B．2
C．5+i D．5
i

3、在△ABC中，cosA=

，则tanA=____

A．2
B．
2
C．
D．

4、已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（　　）

A. 138 B. 135 C. 95 D. 23

5、已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=
”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6、在下列区间中，函数f（x）=ex+4x
3的零点所在的区间为（　　）

A．（

，0） B．（0，
） C．（
，
） D．（
，
）

7、函数f(x)＝4cosx?
的图象可能是（　　）

A．
B．
C．
D．

8、在△ABC中，∠ABC＝
，AB＝
，BC＝3，则sin∠BAC=（　　）

A．
B．
C．
D

9、在四边形ABCD中，
=（1，2），
=（
4，2），则该四边形的面积为（　　）

A.
B. 2
C. 5 D. 10

10、设函数f（x）=
则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）

A．[
1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）

11、已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex
1）（x
1）k（k=1，2），则（　　）

A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值

B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值

C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值

D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值

12、定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）
f（1），且当

x∈[2，3]时，f（x）=
2x2+12x
18，若函数y=f（x）
loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值范围是（　　）

A．（
，1） B．（
，1）∪（1，+∞） C．（0，
） D．（
，1）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应位置。

13、设向量
＝(1，2)，
＝(2，3)，若向量λ
+
与向量
＝(?4，?7)共线，则λ=_____

14、已知等比数列{an}为递增数列，且
＝a10，2(an+an+2)＝5an+1，则数列{an}的通项公式an=___

15.已知函数
的图像在点
处的切线斜率为1，则
____

16. 设f（x）=
，a，b∈R，ab≠0.若f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，则①f（
）=0．

②|f（
）|＜|f（
）|．

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

④f（x）的单调递增区间是[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．

以上结论正确的是______(写出正确结论的编号）．

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.

17、已知命题p：函数f（x）=
为增函数，

命题q：“?x0∈R，
”，

若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围

18、设数列{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

（1）求数列{an}的公比；

（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．

19、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
=（?
，sinA），

＝（cosA，1），且
⊥
.

（1）求角A的大小；

（II）若a=2，△ABC的面积为
，求b，c.

20、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大

21、已知函数f（x）=

(I)若
是第一象限角，且f（
）=
，求g（
）的值;

(II)求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

22、设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．



选择题

DDBCB CACCD CB

填空题

13. 2 14.
15.
16. ①，③

17.解：∵函数f（x）=（m-2）x为增函数，∴m-2＞1?m＞3； （2分）

∵?x0∈R，x02+2mx0+2?m＝0?4m2-4（2-m）=4m2+4m-8≥0

∴m≥1或m≤-2， （ 4分）

∵p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以命题P、q一真一假，（6分）

P真q假时m∈
； （8分）

P假q真时m≤-2或1≤m≤3 （10分）

∴实数m的取值范围是{m|m≤-2或1≤m≤3} （12分）

18. （1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），

∵a5，a3，a4成等差数列， ∴2a3=a5+a4， （2分）

∴2a1q2＝a1q4+a1q3，（a1≠0，q≠0）

∴q2+q-2=0，解得q=1或q=?2， （4分）

又q≠1，

∴q=-2 （6分）

（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1?2Sk

=（Sk+2?Sk）+（Sk+1?Sk）

=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（?2）

=0，

∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列． （12分）

19. 解：（Ⅰ）因为
＝(?
，sinA)，
＝(cosA，1)，且
⊥
，

所以
?
=?
cosA+sinA=0， （2分），

即tanA=
， （4分）

A∈（0，π），∴A=
． （6分）

（Ⅱ） ∵S△ABC=
，且A=
，

S△ABC =
bc?
＝
，故bc=4，…① （8分）。

又cosA=
且a=2，

∴
＝
，从而
…②， （10分）

解①②得，b=c=2． （12分）

20、解：（I）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200?πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200?πrh+160πr2元， …….(2分)

即200?πrh+160πr2=1200π

∴h=
（300-4r2）， …….(3分)

∴V（r）=πr2h=πr2?
（300-4r2）=
（300r-4r3） ……(5分)

又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
，

故函数V（r）的定义域为（0，5
） ……..(6分)

（II）由（I）中V（r）=
（300r-4r3），（0＜r＜5
），

可得V′（r）=
（300-12r2），（0＜r＜5
）， ……..(7分)

令V′（r）=
（300-12r2）=0，则r=5， ………(8分)

当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数，当r∈（5，5
）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数， ……..(10分)

∴当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大 ……(12分)

21、

解：（1）f（x）=
sinx-
cosx+
cosx+
sinx=
sinx （2分），

所以f（
）=
sin
=
，所以sin
=
，

又

（0，
），所以cos
=
， （4分），

所以g（
）=2sin2
=1-cos
=
（6分）

（2）由f（x）≥g（x）得
sinx≥1-cosx，

所以
sinx+
cosx=sin（x+
）≥
（8分）

解2k
+
≤x+
≤2k
+
，k
z （ 10分），

得2k
≤x≤2k
+
，k
z（11分），

所以x的取值范围为〔2k
，2k
+
〕k
z （12分）

22、解：（1）求导数可得f′（x）=
∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴
≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥
，x∈（1，+∞）．

∴a≥1． ………(2分)

g′（x）=ex-a，

若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，

g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；……(3分)

若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意． ……(5分)

故a的取值范围为：a＞e． ……(6分)

（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，∴a≤
.........(8分)

f′（x）=

（x＞0）

0＜a≤
，令f′（x）＞0得增区间（0，
）；

令f′（x）＜0得减区间（
）

当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞

∴当x=
时，f（
）=-lna-1≥0，当且仅当a=
时取等号

∴当a=
时，f（x）有1个零点；当0＜a＜
时，f（x）有2个零点；……(10分)

②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点； ……(11分)

③a＜0时，f′(x)＝
≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在

（0，+∞）上是单调增函数

当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞

∴f（x）有1个零点 ……(13分)

综上所述，当a=
或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜
时，f（x）有2个零点． ……(14分)