扬州市2014届高三上学期期中考试数学试题

2013．11

全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．

第 一 部 分

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．复数
的实部为 ▲ ．

2．命题“
”的否定是 ▲ ．

3．已知向量
，且
，则实数
▲ .

4．已知直线
和

，若
，则

▲ ．

5．已知
，且
，则
▲ ．

6．已知实数
，
满足
，则目标函数
的最小值为 ▲ ．

7．已知函数
，若函数
的零点所在的区间为
，则

▲ .

8．若双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点相同，则
▲ ．

9．若函数

是偶函数，且它的值域为
，则

▲ ．

10．
的图象与直线
相切，相邻切点之间的距离为
．

若点
是
图象的一个对称中心，且
， 则
▲ ．

11．椭圆
的一条准线与
轴的交点为
，点
为其短轴的一个端点，若
的中点在椭圆
上，则椭圆的离心率为 ▲ ．

12．函数
，若
，且
，则
的最小值为 ▲ ．

13． 已知向量
，
满足
，
，
，
，若
，则
所有可能的值为 ▲ ．

14．设圆
的切线
与
轴正半轴，
轴正半轴分别交于点
，当
取最小值时，切线
在
轴上的截距为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知集合
，
.

（1）若
，求集合
；

（2）若
，求实数
的取值范围.

16．（本题满分14分）

在
中，
分别为角
所对的边，已知向量
，
，且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，
，求
的值.

17．（本小题满分15分）

在平面直角坐标系
中，已知圆
:
，过点
且斜率为
的直线与圆
相交于不同的两点
，线段
的中点为
。

(1)求
的取值范围；

(2)若
，求
的值。

18．（本小题满分15分）

某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=
，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在△ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所．现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米．设DC=
米，试问
取何值时，运动场所面积最大？

19．（本小题满分16分）

如图，椭圆
：
（
）和圆
：
，已知圆
将椭圆
的长轴三等分，椭圆
右焦点到右准线的距离为
，椭圆
的下顶点为
，过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点
、
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若直线
、
分别与椭圆
相交于另一个交点为点
、
.

①求证：直线
经过一定点；

②试问：是否存在以
为圆心，
为半径的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交？若存在，请求出所有
的值；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分16分）

已知函数
，其中
为实常数.

（1）若
在
上恒成立，求
的取值范围；

（2）已知
，
是函数
图象上两点，若在点
处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；

（3）设定义在区间
上的函数
在点
处的切线方程为
，当
时，若
在
上恒成立，则称点
为函数
的“好点”．试问函数
是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．

21．（本题满分10分）

已知矩阵
的一个特征值是
，求矩阵
的另一个特征值
，及属于
的一个特征向量。

22．（本题满分10分）

已知
的展开式中第
项的二项式系数与第
项的二项式系数之比为
：
.

（1）求
的值；

（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）。

23．（本题满分10分）

一个盒子中装有5张相同的卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是
，现从盒子中随机抽取卡片。

（1）若从盒子中有放回的抽取
次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；

（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数
的概率分布列和数学期望。

24．（本题满分10分）

在平面直角坐标系
中，已知点
，
是动点，且
的三边所在直线的斜率满足
．

（1）求点
的轨迹
的方程；

（2）点
在直线
，过
作（1）中轨迹
的两切线，切点分别为
，若
是直角三角形，求点
的坐标。

参 考 答 案

1、
2、
3、
4、

5、
6、
7、1 8、1

9、
10、
11、
12、2

13、0、2 14、

解析：设直线
与坐标轴的交点分别为
，
，显然
，
．

则直线
：
，依题意：
，即
，所以
，

所以
，设
，

则

设
，则
，
，
，

又
，故当
时，
单调递减；当
时，
单调递增；

所以当
，
时，
有最小值．

15、（1）由
得

即
， 2分

当
时，由
得
或
4分

所以
7分

（2）由
得
或

即
9分

因为
，所以

， 12分

即
. 14分

16、（1）因为
，所以
，

即：
3分

因为
，所以
，故
， 5分

因为
，所以
. 7分

（2）由（1）可知，因为
，
，

所以
， ① 9分

又
， ②

由①②解得
11分

所以
14分

17、（1）方法一：圆的方程可化为
，直线可设为
，

即
，圆心
到直线的距离为
，

依题意
，即
，

解之得：
； 7分

方法二：由

可得：
，

依题意
，

解之得：
．

（2）方法一：因为
，且
斜率为
，故直线
：
，

由

可得
，

又
是
中点，所以
，即
，

解之得：
． 15分

方法二：设
，
，则

由

可得：
，

所以
，

又
，且
斜率为
，

所以
，即
，也就是
，

所以
，解之得：
．

方法三：点
的坐标同时满足

，解此方程组，消去
可得
．

18、解法一：以C为坐标原点，CB所在直线为
轴，CA所在直线为
轴建立直角坐标系，

2分

则
，
，
，
，
．

DE直线方程：
，① 4分

AB所在直线方程为
，② 6分

解①、②组成的方程组得，
， 8分

∵直线
经过点B时
，∴
，

10分

=
，设
，

=
，

（当且仅当
，即
时取等号），此时
，

∴当
=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大． 15分

解法二：如图，分别过点
作
的垂线，垂足为
，设
，则

若如图1所示，则
，

由
得
，即
，从而
，
，

由
得
，解得

（若如图2所示，则
，
，
，
，由
得
，解得
）

由
得
，

由
（下同解法一）

19、（1）依题意，
，则
，

∴
，又
，∴
，则
，

∴椭圆方程为
． 4分

（2）①由题意知直线
的斜率存在且不为0，设直线
的斜率为
，则
：
，

由
得
或

∴
， 6分

用
去代
，得
，

方法1：
，

∴
：
，即
，

∴直线
经过定点
．

方法2：作直线
关于
轴的对称直线
，此时得到的点
、
关于
轴对称，则
与
相交于
轴，可知定点在
轴上，

当
时，
，
，此时直线
经过
轴上的点
，

∵

∴
，∴
、
、
三点共线，即直线
经过点
，

综上所述，直线
经过定点
． 10分

②由
得
或
∴
，

则直线
：
，

设
，则
，直线
：
，直线
：
，

13分

假设存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，

则
由（
）得
对
恒成立，则
，

由（
）得，
对
恒成立，

当
时，不合题意；当
时，
，得
，即
，

∴存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，所有
的取值集合为
． 16分

解法二：圆
，由上知
过定点
，故
；又直线
过原点，故
，从而得
．

20、解：（1）方法一：
在
上恒成立，即为
在
上恒成立，

①
时，结论成立；

②
时，

函数
图象的对称轴为
，

所以函数
在
单调递增，

依题意
，即
，

所以
；

③
不合要求，

综上可得，实数
的取值范围是
． 4分

方法二：
在
上恒成立等价于
，

令

因为
，所以
，故

所以
.

（2）

设
，
，过点
的两切线互相平行，

则
，所以
（舍去），或
，

过点
的切线
：
，即
，

6分

过点
的切线
：

两平行线间的距离是

，

因为
，所以

即两平行切线间的最大距离是
． 10分

（3）
，设
存在“好点”
，

由
，得
，

依题意
对任意
恒成立，

因为

，

， 13分

所以
对任意
恒成立，

①若
，
不可能对任意
恒成立，

即
时，不存在“好点”；

②若
，因为当
时，
，

要使
对任意
恒成立，

必须

，所以
，

综上可得，当
时，不存在“好点”；

当
时，存在惟一“好点”为
． 16分

21．解：矩阵
的特征多项式是
，

由
得
，

令
，则
或
，

解方程组

可得一组不为零的解是

所以矩阵
的另一个特征值是
，属于
的一个特征向量是
．

22．解：（1）

第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7.

，解得
5分

（2）由（1）得
，令
，则
，

所以常数项为第
项，
10分

23．解：（1）依题意：每次取到偶数的概率为
，

设
表示事件“有放回的抽取
次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到卡片的数字为偶数”

则
； 5分

（2）依题意：
，

则
，
，

，所以
的分布列为：



















所以，
10分

24．解：（1）设
，由
得：

，即
，

所以
点的轨迹
的方程是：

，且
， 3分

（2）因为
，所以
，设
，
，

则
，
，

由于
是曲线的切线，所以
，

即
，同理
，

两式相减可得
，

又
，故
，

①若
，则
，所以
，

由

，得
，
，此时
； 6分

②若
，则
，即

化简得：
，即
，
，

又
，即

由

可得

所以
，

③若
，同理可得
；

综上可得，所求点
有两个：
，和
10分