江西师大附中高三年级数学（理）期中考试卷

命题人：刘芬 　　 审题人：占华平　　2013．11

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

2．函数
的定义域为(　　)

A．
B．
C．(1，
) D．
∪(1，
)

3． 已知
=2， 则
的值为（ ）

A．
B．7 C．－
D．－7

4．设
则下列不等式成立的是(　　)

A．
B．
C．
D．

5． 已知等比数列
前项和为
(　　)

A．10 B．20 C．30 D．40

6．将函数f(x)=2sin
的图象向左平移
个单位，得到函数y=g (x)的图象．若y=g(x)在[
]上为增函数，则的最大值( )

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论：

①
,正确命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8. 已知在等差数列
中
,
,则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
为
的最大值

C．
D．

9．如图所示,为
所在平面上一点，且在线段
的垂直平分线上，若
(　　)

A．5 B．3 C．
D．

10．定义域为R的函数
满足
，当
[0，2)时，
若
时，
恒成立，则实数t的取值范围是( )

A．[-2，0)
(0，l) B．[-2，0)
[l，+∞) C．[-2，l] D．(
，-2]
(0，l]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知向量
与
互相垂直，其中
．则
.

12．已知实数x，y满足
若
，则的最大值为_______.

13.设
为正实数，满足
，则
的最小值是 ．

14．已知函数f(x)＝
＋x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则a的取值范围是_____

15．数列
的前项和是
，若数列
的各项按如下规则排列：

，

若存在正整数
，使
，
，则
．

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．已知
求（1）
（2）

17．在
中，
的对边分别为
且
成等差数列．

（1）求B的值；

（2）求
的范围．

18．在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，
，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
//平面

（Ⅱ）在线段
上是否存在点，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

19．数列
的通项
，其前n项和为
．

（1）求
.

（2）
求数列｛
｝的前n项和
．

20．在周长为定值的(DEC中,已知
,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,
有最小值
．

（1）以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;

（2）直线l分别切椭圆G与圆
(其中
)于A、B两点,求|AB|的取值范围．

21．已知函数

（1）若
在
是增函数，求的取值范围；

（2）已知
，对于函数
图象上任意不同两点
,
，其中
，直线
的斜率为
，记
，若
求证：
.

高三数学参考答案

1-5 AAADC 6-10BCBCD

11.

12.
13. 3 14.
或

15.

16.
,

17.在
中，
的对边分别为
且
成等差数列．

（1）求B的值；

（2）求
的范围．

解：（1）
成等差数列，

． ………………………………………………2分

由正弦定理得，

代入得，
，

即：
，

． …………………………………………………………4分

又在
中，
．

，
. ………………………………………………6分

（2）
，

．

…………………….8分

，

．

的范围是
………………………….12分

18.如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，
，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：
//平面

（Ⅱ）在线段
上是否存在点，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

所以
……………10分

又在
中，
，

所以

所以在线段
上存在点，使二面角
的大小为
，此时
的长为
. ……………………………………………………………12分

即
，解得
………………………………………………….12分

所以在线段
上存在点，使二面角
的大小为
，此时
的长为

19.数列
的通项
，其前n项和为
.

(1) 求
;

(2)
求数列｛
｝的前n项和
.

解: (1) 由于
,故…………………………………….2分

………….4分

,

……………………………………………………………6分

(2)
………………………………………………………8分

两式相减得

.......................................................................................................…10分

故
………………………….12分

20.在周长为定值的(DEC中,已知
,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,
有最小值
.

(1)以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;

(2)直线l分别切椭圆G与圆
(其中
)于A、B两点,求|AB|的范围.

【解】(1)设 |CD|+|CE|=2a (a>4)为定值,所以C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆,所以焦距2c=|DE|=8. ……………………………..2分

因为

又
,所以
, …………………………….4分

由题意得
. 所以C点轨迹G 的方程为
……..5分

(2)设
分别为直线
与椭圆和圆的切点, 直线AB的方程为:
因为A既在椭圆上,又在直线AB上, 从而有
, ………………..7分

消去得:

由于直线与椭圆相切,故
,从而可得:

①
② …………….9分

由
消去得:
.

由于直线与圆相切,得:
③
④

由②④得:
;由①③得:

由3

 21.已知函数

（1）若
在
是增函数，求的取值范围；

（2）已知
，对于函数
图象上任意不同两点
,
，其中
，直线
的斜率为
，记
，若
求证：
。

解：（1）由
得

，又当
时，
，所以
………..5分

（II）

……………………………………………………..6分

，
…………8分

…………….9分

，
，

…………………..10分

要证
，只要证
，

即
……………………………………….11分

设
，则
，显然

令
，考虑
在
上的单调性

令

恒成立
则有

成立