高三数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．

1.已知集合
= （ ）

A．
B．
C．
D．

2.下列有关命题的说法错误的是 （ ）

A．命题“若
”的逆否命题为：“若
”

B．“x=1”是“
”的充分
不必要条件

C．若
为假命题，则p、q均为假命题

D．对于命题

，则

3.设
,且
,则锐角
为

A．
B．
C．
D．

4.各项都是正数的等比数列
的公比
，且
成等差数列，则

的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．
或

5.在
中，已知
，那么
一定是

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

6.已知
的值等于 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．－2

7.给出下列三个等式：
，
，

，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

A．
B．
C．

D．

8.函数
的部分图象如图所示，则该函数的解析式是 （ ）

A．

B．

C．

D．

9.设
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

10.已知
，若向区
域
上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 （
）

A．
B．
C．
D．

11.设a,b是两个实数，且a≠b，①
②
，③
。上述三个式子恒成立的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12.已知
是
上的奇函数,对
都有
成立,若
,则
等于

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项：

1．用0.5mm的中性笔答在答题纸相应的位置内。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．

13.已知直线
与曲线
相切于点
，则
。

14.设
定义如下面数表，
满足
，且对任意自然数
均有
，则
的值为__________________。

1

2

3

4

5





4

1

3

5

2



15.已知点
在圆
上，点
关于直
线
的对称点也在圆
上，则
。

16.一次研究性课堂上，老师给出函数
，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：

甲：函数
为偶函数；

乙：函数
；

丙：若
则一定有

你认为上述三个命题中正确的个数有 个

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求函数
的最小正周期；

(2)求函数
在
区间
上的函数值的取值范围.

18.（本题满分12分）

某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒中装有
个大小相同的小球，分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖.

　（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“多彩十艺节”球？主持人笑说：我只知道从盒中

同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是
，求抽奖者获奖的概率；

（Ⅱ）上面条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用
表示获奖的人数，求
的分布列及
.

19.（本题满分12分

）

将边长为
的正方形
和等腰直角三角形
按图

拼为新的几何图形,
中,
,连结
,

若
,
为
中点

（Ⅰ)求
与
所成角的大小;

（Ⅱ)若
为
中点，证明：
平面
；

（Ⅲ)证明：平面
平面

20. (本题满分12分)设数列
的前n项和为
,已知
,
,数列
是公差为d的等差数列,
.

求d的值;

求数列
的通项公式;

求证:
.

21．（本小题满分12分）已知函数
．

（I）求函数
的单调递减区间；

（II）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（III）过点
作函数
图像的切线，求切线方程

22．（本小题满分14分）已知椭圆
过点
，且离心率
。

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
相交于
，
两点（
不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足
，试判断直线
是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

高三数学试题（理科）

参考答案

一、选择题

ACCCB CDDDA BC

二、填空题

13．0 14．1 15.
16.2

三、解答题[来源:学&科&网Z&X&X&K]

17．解: (1)
……………………………………………………………4分

…………………………………………………………………6分

故
的最小正周期为
………………………………………………8分

(2)当
时,
…………………………………………10分

故所求的值域为
……………………………………………………12分

18. （本题满分12分）

解：I）设印有“美丽泉城行”标志的球有
个，不都是“美丽泉城行”标志为事件
，

则都是“美丽泉城行”标
志的概率是
,由对立事件的概率：
,

得
，故“多彩十艺节”标志卡共有4张

∴抽奖者获奖的概率为
………………………………6分

Ⅱ）
～
，
的分布列为
或

0

1

2

3

4

















 ∴

…………………………12分

19. （本题满分12分）

Ⅰ)解：∵
,
,[来源:学#科#网]

∴
,又

∴
面
[来源:学科网]

为等腰直角三角形且

∴

两两垂直

分别以
所在直线为
轴，

建立空间直角坐标系如图：

则
，

，
[来源:学科网]

∴

∴

∴
与
所成角的大小为
……………………………4分

Ⅱ) ∵
，
为
中点

∴
，而

∴

∴
与
共线，

面
，
面

∴
平面
…………………………………8分

Ⅲ)
面

面

∴

∴

又
为等腰直角三角形且
为斜边
中点

∴

∴
面

又
面

∴平面
平面
…………………………12分

…………………………………………………………3分

………………………………………………8分

……………
…………………………………12分

21.（Ⅰ）

得

2分

函数
的单调递减区间是
；
4分

（Ⅱ）

即

设
则

6分

当
时
，函数
单调递减；

当
时
，函数
单调递增；

最小值

实数
的取值范围是
；
7分

（Ⅲ）设切点
则


即

设
，当
时


是单调递增函数
10分

最多只有一个根，又

由
得切线方程是
.
12分

22（Ⅰ）由题意椭圆的离心率
。

∴椭圆方程为
……2分

又点
在椭圆上

∴椭圆的方程为
……4分

(II)设
，由
得

，

，
.

所以
，又椭圆的右顶点

，
，

，

，解得

，且满足
.

当
时，
，直线过定点
与已
知矛盾；

当
时，
，直线过定点

综上可知，直线
过定点，定点坐标为