淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、“对任意的实数x，不等式x＋2x＋a>0均成立”的充要条件是（ ）

Ａ． a>1 B． a≥1 C. a<1 D. a≤1

不等式
的解集为( )

A.
B.
C.
D.

3、如果等差数列
中，
，那么a＋a＋……＋a的值为（ ）

A.18 B.27 C. 54 D. 36

4、设非零向量
、
、
满足
，
，则向量
、
间的夹角为（ ）

A.150° B. 120° C. 60° D.30°

5、下列结论一定恒成立的是 （ ）

A.
B.若a，b为正实数，则≥

C．若a，a∈(0,1),则aa>a＋a―1 D.

6、设曲线
在点（3，2）处的切线与直线
垂直，则a=( )

A．2 B．
C．―
D． ―2

7、若函数y=2图象上存在点
满足约束条件
,则实数
的最大值为

（ 　） A．
B．1 C．
D．2

8、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱
面
，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )

A.
B.

C.
D.4

9、设S是等差数列{a}的前n项和，若
，则
等于( )

（A）
（B）
（C）
（D）

10、在各项均为正数的等比数列{a}中，若aa=9，则loga＋loga＋…＋loga=( )

(A) 12 (B) 2＋log5 (C) 8 (D) 10

11、已知向量=(cos(，sin()，=(，1)，则|2―|的最大值和最小值分别为（ ）

A.4，0 B. 16，0 C. 2，0 D. 16，4

12、已知a＋b=1，b＋c=2，c＋a=2，则ab＋bc＋ca的最小值为（ ）

Ａ． ― B． ― C. ―― D. ＋

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）

注意事项：

1．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚。密封线内不准答题。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案须填在答题纸上.

13、已知直线
经过圆
的圆心，则
的最小值为 .

14、不等式
的解集为 .

5、观察下列等式

照此规律, 第n个等式可为_ _

16、给出下列命题：

① 半径为2，圆心角的弧度数为
的扇形面积为
；

② 若
、
为锐角，
则
；

③ 函数
的一条对称轴是
；

④
是函数
为偶函数的一个充分不必要条件.

其中真命题的序号是 .

三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6个小题，共74分。

17、（本小题满分12分）在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.

(I)求cosA的值； (II)求c的值.

18、（本小题满分12分）已知数列{a}中，a=1，a=a＋2n＋1,且n∈N。

（1）求数列{a}的通项公式；（2）令b=,数列{b}的前n项和为T.如果对于任意的n∈N,都有T>m，求实数m的取值范围。

19、 (本小题满分12分) 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱. 污水从A孔流入, 经沉淀后从B孔流出. 设箱体

的长度为a米, 高度为b米. 已知流出的水中该杂质的质量

分数与a, b的乘积ab成反比. 现有制箱材料60平方米.

问当a, b各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的

质量分数最小(A, B孔的面积忽略不计).

20、（本小题满分12分）

已知集合A={x||x―a|<4}，B={x|x―3(a＋1)x＋2(3a＋1)<0} (其中a∈R).

(1) 若a=1，求A∩B； （2）求使A(B的a的取值范围.

21、（本小题满分13分）某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2) 求该容器的建造费用最小时的r.

22、（本小题满分13分）已知数列{a}的首项a=5，前n项和为S，且S=2S＋n＋5,

且n∈N。 （I）证明数列{a＋1}是等比数列； （II） 令f(x)=ax＋ax＋……＋ax,求函数f(x)在点x=1处的导数f((1),并比较2f((1)与23n―13n的大小.



三、解答题：17、解(I)因为a=3,b=2
,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得
.所以
.故
. ………………………5分

18、解：（1）∵ a=a＋2n＋1, ∴ a―a=2n―1, 而 a=1，∴ a=a＋(a―a)＋

(a―a)＋……＋(a―a)=1＋3＋5＋……＋(2n―1)= =n ……………5分

（2） 由（1）知：b===― ∴ T=(―)＋ (―)＋......＋

(―)=1― ∴数列{b}是递增数列，∴最小值为1―= 只需要 >m

∴ m的取值范围是(,＋∞) ……………12分

19、解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y= ，其中k为比例系数，且k>0，依题意，即所求的a,b值使y最小。据题意有：4b＋2ab＋2a=60(a>0,b>0) ∴ b=(0

∴ ab=a×==―a＋32―

=34―(a＋2＋)≤34―2=18

当a＋2=时取等号，y达到最小值。 …………………8分

此时解得a=6,b=3

答：当a为6米, b为3米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。………12分

解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y= ，其中k为比例系数，且k>0，依题意，即所求的a,b值使y最小。据题意有：4b＋2ab＋2a=60(a>0,b>0)

即2b＋ab＋a=30 ∵ a＋2b≥2 ∴ 30―ab=a＋2b≥2

∴ ab＋―30≤0…………………7分

∵ (a>0,b>0) ∴ 0

此时解得a=6,b=3

答：当a为6米, b为3米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

………………………12分

21、

[审题视点] 根据体积求出r，l的关系，由l≥2r确定r的取值范围；由圆柱的侧面积和球的表面积建立造价y关于r的函数关系，然后利用导数求其最小值．

21、解　(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，

∴ πr2l＋πr3＝ 故l＝＝－r＝. 由于l≥2r，∴ ≥2r. ∴ 0

＝4π(c－2)r2＋，0

(2)由(1)得y(＝8π(c－2)r－＝，03，所以c－2>0.

当r－＝0时，r＝， ∴ 当y(>0时，r>；当y(<0时，0

∴ 函数y在(0, ]上为减函数，在[,＋∞)上为增函数

① 当2≤，即3

所以r＝2是函数y的最小值点．

②当2≥，即c≥ 时，∴ 函数y在(0, ]上为减函数，在[,2]上为增函数 ∴所以r＝是函数y的极小值点，也是最小值点．

………………………12分

综上所述，当3时，建造费用最小时r＝.

………………………13分

利用导数解决实际生活中的最优化问题时，首先应根据已知条件建立函数模型，然后利用导数分析函数模型，求解相关最值，但要注意变量的实际意义和取值范围．

（II）由（I）知

因为
所以

从而
=